Question

9．已知等边△ABC，点E是AB上一点，AE=3，点D在AC的延长线上，∠ABD+∠BCE=120°，tan∠D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，则CD=$\frac{9}{2}$．

Answer 1

分析 作∠BCD平分线交BD于F，可得∠BCF=∠DCF=∠A=60°，再根据∠ABD+∠BCE=120°可得∠FBC=∠ECA，即可证△FBC≌△ECA，从而得AE=CF=3，过点F作FG⊥CD于点G，由∠DCF度数可求得CG、FG的长，由tan∠D=$\frac{\sqrt{3}}{2}$可得DG，即可得答案．

解答 解：如图，作∠BCD平分线交BD于F，

∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC=∠A=∠ACB=60°，AC=BC，
∴∠ACD=120°，
∴∠BCF=∠A=60°，
又∵∠ABD+∠BCE=120°，即∠ABC+∠FBC+∠BCE=120°，
∴∠FBC+∠BCE=60°，
∵∠ECA+∠BCE=∠ACB=60°，
∴∠FBC=∠ECA，
在△FBC和△ECA中，
∵$\left\{\begin{array}{l}{∠FBC=∠ECA}\\{BC=CA}\\{∠BCF=∠A}\end{array}\right.$，
∴△FBC≌△ECA（ASA），
∴AE=CF=3，
过点F作FG⊥CD于点G，
∴CG=CFcos∠FCD=3×$\frac{1}{2}$=$\frac{3}{2}$，
FG=CFsin∠FCD=3×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{3\sqrt{3}}{2}$，
又∵tanD=$\frac{FG}{DG}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴DG=$\frac{FG}{tanD}$=3，
∴CD=CG+DG=$\frac{9}{2}$，
故答案为：$\frac{9}{2}$．

点评 本题主要考查全等三角形的判定与性质及解直角三角形的应用，由∠ABD+∠BCE=120°得出∠FBC=∠ECA，从而联想到作角平分线构建全等三角形是解题的关键．