Question

3．如图，在△ABC中，AB=AC=4，BD是△ABC的中线，∠ADB=120°，点E在中线BD的延长线上，则△ACE是直角三角形时，DE的长为2或4．

Answer 1

分析 △ACE为直角三角形分∠CAE=90°、∠AEC=90°以及∠ACE=90°三种情况考虑，通过解直角三角形以及特殊角的三角函数值即可求出DE长，此题得解．

解答 解：△ACE为直角三角形分三种情况：
①当∠CAE=90°时，
∵∠ADB=120°，
∴∠ADE=60°，∠AED=30°．
∵AB=AC=4，BD是△ABC的中线，
∴AD=CD=2．
∴DE=$\frac{AD}{sin∠AED}$=$\frac{2}{\frac{1}{2}}$=4；
②当∠AEC=90°时，
∵ED是△EAC的中线，
∴DE=$\frac{1}{2}$AC=2；
③当∠ACE=90°时，
∵∠ADB=120°，
∴∠CDE=90°，
此时∠DCE+∠CDE=90°+120°=210°＞180°，
∴∠ACE≠90°．
综上可知：DE的长为2或4．
故答案为：2或4．

点评 本题考查了解直角三角形以及特殊角的三角函数值，解题的关键是分三种情况考虑△ACE为直角三角形的情况．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，利用特殊角的三角函数值解决问题是关键．