Question

已知△ABC中，BC=4，A是三角形中的一个动点．
（1）若∠BAC=90°，请求出当AB，AC各取多少时，△ABC面积最大，并求出这个最大面积；
（2）若∠BAC=45°，请说明三角形面积是否存在最大值．如果有，请求出这个最大面积；如果没有，请说明理由；
（3）若∠BAC=60°，请说明三角形面积是否存在最大值．如果有，请求出这个最大面积；如果没有，请说明理由．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：（1）利用BC为直径作⊙O，可得出当AB=AC=2

2

时，△ABC面积最大，利用S_△ABC=

1

2

•BC•AO求解即可．
（2）利用BC为一条弦作⊙O，且∠BAC=45°，当AD⊥BC且过O时，△ABC面积最大，运用S_△ABC=

1

2

•BC•AD求解即可．
（3）利用BC为一条弦作⊙O，且∠BAC=60°，当AD⊥BC且过O时，△ABC面积最大，利用S_△ABC=

1

2

•BC•AD求解即可．

解答：解：（1）如图1，以BC为直径作⊙O，

∵∠BAC=90°，
∴当AB=AC=2

2

时，△ABC面积最大，
∴S_△ABC=

1

2

•BC•AO=

1

2

×4×2=4．
（2）如图2，以BC为一条弦作⊙O，且∠BAC=45°，

当AD⊥BC且过O时，△ABC面积最大，
S_△ABC=

1

2

•BC•AD=

1

2

×4×

BD

tan22.5°

=2×

2

tan22.5°

=

4

tan22.5°

．
（3）如图3，以BC为一条弦作⊙O，且∠BAC=60°，

当AD⊥BC且过O时，△ABC面积最大，
S_△ABC=

1

2

•BC•AD=

1

2

×4×2

3

=4

3

．

点评：本题主要考查了面积及等积变化，解题的关键是利用同弦所对的圆周角相等来说明三角形的变化情况．确定△ABC面积最大的情况．