题目内容
如图①，平面直角坐标系中的?AOBC，∠AOB=60°，OA=8cm，OB=10cm，点P从A点出发沿AC方向，以1cm/s速度向C点运动；点Q从B点同时出发沿BO方向，以3cm/s的速度向原点O运动．其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动．
（1）求出A点和C点的坐标；
（2）如图②，从运动开始，经过多少时间，四边形AOQP是平行四边形；
（3）在点P、Q运动的过程中，三角形OQP有可能成为直角三角形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．（图③供解题时用）
（1）求出A点和C点的坐标；
（2）如图②，从运动开始，经过多少时间，四边形AOQP是平行四边形；
（3）在点P、Q运动的过程中，三角形OQP有可能成为直角三角形吗？若能，求出运动时间；若不能，请说明理由．（图③供解题时用）
考点：平行四边形的判定与性质,坐标与图形性质,勾股定理的逆定理
专题：
分析：（1）因为AO=8为已知，∠AOB=60°，可利用三角函数中，正弦或余弦求出A点的横坐标以及纵坐标，至于C，因为AC连线与X轴平行，所以和A点纵坐标相等，横坐标在A的基础上加10即可．
（2）四边形AOQP如果是平行四边形，则必须有AP=OQ，可根据P、Q运动速度，以及运动时间t，求出AP和OQ的长，从而列方程解答即可．
（3）分为两种情况：①∠OQP=90°，②∠QPO=90°，根据勾股定理和直角三角形性质求出即可．
（2）四边形AOQP如果是平行四边形，则必须有AP=OQ，可根据P、Q运动速度，以及运动时间t，求出AP和OQ的长，从而列方程解答即可．
（3）分为两种情况：①∠OQP=90°，②∠QPO=90°，根据勾股定理和直角三角形性质求出即可．
解答：解：（1）过点A作AD垂直OB于点D，垂足为D，
在Rt△AOD中，∵∠AOB=60°，OA=8cm
∴OD=
OA=4cm，
由勾股定理，得AD=4
cm，
∴A（4，4
），
∵OB=AC=10cm，
∴C（14，4
）．
（2）设经过t秒钟，四边形AOQP是平行四边形，
则有AP=OQ，
即t=10-3t，t=
（秒）
故经过
秒钟，四边形AOQP是平行四边形．
（3）分为两种情况：①∠PQO=90°，如图③，∵此时四边形APQD是矩形，
∴AP=DQ，
即t=8-3t-4，
解得：t=1，
②∠OPQ=90°，
如图④，过P作PM⊥OB于M，
则OP2=PM2+OM2，PQ2=PM2+QM2，OP2+PQ2=0Q2，
即（4
）2+（4+t）2+（4
）2+（8-3t-4-t）2=（8-3t）2，
即t2+3t+8=0，
此时方程无解；
∴在点P、Q运动的过程中，三角形OQP有可能成为直角三角形，运动时间是1s．
在Rt△AOD中，∵∠AOB=60°，OA=8cm
∴OD=
| 1 |
| 2 |
由勾股定理，得AD=4
| 3 |
∴A（4，4
| 3 |
∵OB=AC=10cm，
∴C（14，4
| 3 |
（2）设经过t秒钟，四边形AOQP是平行四边形，则有AP=OQ，
即t=10-3t，t=
| 5 |
| 2 |
故经过
| 5 |
| 2 |
（3）分为两种情况：①∠PQO=90°，如图③，∵此时四边形APQD是矩形，∴AP=DQ，
即t=8-3t-4，
解得：t=1，
②∠OPQ=90°，
如图④，过P作PM⊥OB于M，
则OP2=PM2+OM2，PQ2=PM2+QM2，OP2+PQ2=0Q2，
即（4
| 3 |
| 3 |
即t2+3t+8=0，
此时方程无解；
∴在点P、Q运动的过程中，三角形OQP有可能成为直角三角形，运动时间是1s．
点评：本题主要考查了平行四边形、直角梯形的判定，直角三角形的应用，用了分类讨论思想，题目比较好，难易程度适中．
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| A、2 | ||||
B、
| ||||
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| ||||
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|
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