Question

如图，Rt△ABC中，分别以AB、AC为斜边，向△ABC的内侧作等腰Rt△ABE、Rt△ACD，点M是BC的中点，连接MD、ME．
（1）若AB=8，AC=4，求DE的长；
（2）求证：AB-AC=2DM．

Answer 1

考点：三角形中位线定理,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据三角函数求得AE和AD的长，二者的差就是所求；
（2）延长CD交AB于点F，证明MD是△BCF的中位线，AF=AC，据此即可证得．

解答：解：（1）直角△ABE中，AE=

2

2

AB=4

2

，
在直角△ACD中，AD=

2

2

AC=2

2

，
则DE=AE-AD=4

2

-2

2

=2

2

；

（2）延长CD交AB于点F．
在△ADF和△ADC中，

∠FAD=∠CAD AD=AD ∠ADF=∠ADC

，
∴△ADF≌△ADC（ASA），
∴AC=AF，CD=DF，
又∵M是BC的中点，
∴DM是△CBF的中位线，
∴DM=

1

2

BF=

1

2

（AB-AF）=

1

2

（AB-AC），
∴AB-AC=2DM．

点评：本题考查了三角形的中位线定理，以及全等三角形的判定与性质，正确作出辅助线是关键．