如图1.在平面直角坐标系xOy中.A.C为y轴正半轴上一点.且BC=4．(1)求∠OBC的度数,(2)如图2.点P从点A出发.沿射线AB方向运动.同时点Q在边BC上从点B向点C运动.在运动过程中:①若点P的速度为每秒2个单位长度.点Q的速度为每秒1个单位长度.运动时间为t秒.已知△PQB是直角三角形.求t的值,②若点P.Q的运动路程分别是a.b.已知△PQB是等腰三� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

10．如图1，在平面直角坐标系xOy中，A（-3，0），B（2，0），C为y轴正半轴上一点，且BC=4．

（1）求∠OBC的度数；
（2）如图2，点P从点A出发，沿射线AB方向运动，同时点Q在边BC上从点B向点C运动，在运动过程中：
①若点P的速度为每秒2个单位长度，点Q的速度为每秒1个单位长度，运动时间为t秒，已知△PQB是直角三角形，求t的值；
②若点P，Q的运动路程分别是a，b，已知△PQB是等腰三角形时，求a与b满足的数量关系．

分析（1）在OA上取一点D，根据等边三角形的性质进行解答即可；
（2）①分∠PQB=90°时和∠QPB=90°时两种情况进行解答即可；
②分a＜5和a＞5两种情况，利用等腰三角形和等边三角形的性质进行解答即可．

解答解：（1）如图1：

在OA上取一点D，使得OD=OB，连接CD，则BD=2OB=4，
∵CO⊥BD，
∴CD=CB=4，
∴CD=CB=BD，
∴△DBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°；
（2）①由题意，得AP=2t，BQ=t，
∵A（-3，0），B（2，0），
∴AB=5，
∴PB=5-2t，
∵∠OBC=60°≠90°，
∴下面分两种情况进行讨论，
Ⅰ）如图2：

当∠PQB=90°时，
∵∠OBC=60°，
∴∠BPQ=30°，
∴BQ=$\frac{1}{2}PB$，
∴$t=\frac{1}{2}（5-2t）$，
解得：t=$\frac{5}{4}$；
Ⅱ）当∠QPB=90°时，如图3：

∵∠OBC=60°，
∴∠BQP=30°，
∴PB=$\frac{1}{2}BQ$，
∴$5-2t=\frac{1}{2}t$，
解得：t=2；
②如图4：

当a＜5时，
∵AP=a，BQ=b，
∴BP=5-a，
∵△PQB是等腰三角形，∠OBC=60°，
∴△PQB是等边三角形，
∴b=5-a，
即a+b=5，
如图5：当a＞5时，

∵AP=a，BQ=b，
∴BP=a-5，
∵△PQB是等腰三角形，∠QBP=120°，
∴BP=BQ，
∴a-5=b，
即a-b=5．