如图.在平面直角坐标系xOy中.O为坐标系原点.AD为等腰三角形AOC底边OC上的高.直线OA的解析式为y=x.抛物线y=a(x-4)2+k的顶点为A.且经过坐标原点．(1)求此抛物线的解析式,(2)有一动点P从点O出发.沿射线OA方向以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度运动.连接PD.设△APD的面积为S.点P的运动时间为t秒.求S与t的解析式.并直接写出自� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，O为坐标系原点，AD为等腰三角形AOC底边OC上的高，直线OA的解析式为y=x，抛物线y=a（x-4）²+k的顶点为A，且经过坐标原点．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）有一动点P从点O出发，沿射线OA方向以每秒$\sqrt{2}$个单位长度的速度运动，连接PD，设△APD的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t的解析式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的情况下，过点D作PD的垂线交射线AC于点E，过点E作OC的垂线交抛物线于点F，问当t为何值时，CE的长为$\sqrt{2}$，并求出此时点F的坐标．

分析（1）由抛物线的解析式可求得抛物线的对称轴为x=4，根据点A在y=x上可求得点A的坐标为（4，4），将（4，4），（0，0）代入抛物线的解析式可求得a和k的值，从而得到抛物线的解析式；
（2）当点P在线段OA上时，如图1所示，过点P作PM⊥AD于点M．在等腰三角形APM中，利用特殊锐角三角函数值可求得PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4$\sqrt{2}$-2t），然后利用三角形的面积公式即可求得S与t的关系式，如图2所示，先求得PM=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（2t-4$\sqrt{2}$），然后利用三角形的面积公式即可求得S与t的关系式；
（3）在图3中先证明△PAD≌△ECD，AP=EC=$\sqrt{2}$，由PA=AO-OP可得：4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}t$=$\sqrt{2}$，解得t=3，设EF交x轴于点N，在Rt△CEN中，∠ECN=45°，CE=$\sqrt{2}$，于是CN=1，故此ON=7，将x=7代入抛物线的解析式可求得点F的坐标；如图4所示：先证明△PAD≌△ECD，得到AP=EC=$\sqrt{2}$于是有$\sqrt{2}t$-4$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$，解得t=5，EF交x轴于点N，在Rt△CEN中，∠ECN=45°，CE=$\sqrt{2}$，CN=1，故此ON=9，将x=9代入抛物线的解析式可求得点F的坐标．

解答解：（1）∵抛物线y=a（x-4）²+k的顶点为A，
∴A的横坐标为4．
又∵直线OA的解析式为y=x，
∴当x=4时，y=4．
∴点A的坐标为（4，4）．
将（4，4），（0，0）代入y=a（x-4）²+k得；a=-$\frac{1}{4}$，k=4．
∴抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}{x}^{2}+2x$．
（2）当点P在线段OA上时，如图1所示，过点P作PM⊥AD于点M．

∵AD为等腰三角形AOC底边OC上的高，
∴∠PAD=45°
∴PM=APsin∠PAD=$\frac{\sqrt{2}}{2}$（4$\sqrt{2}$-2t）．
∴${S}_{△APD}=\frac{1}{2}AD•PM$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}×（4\sqrt{2}-\sqrt{2}t）$=8-2t（0≤t＜4）．
当点P在线段OA的延长线上时，如图2所示，过点P作PM⊥AD于点M．

∵∠PAM=45°，
∴PM=APsin∠PAM=$\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{2}t-4\sqrt{2}）$．
∴${S}_{△APD}=\frac{1}{2}AD•PM$=$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{2}}{2}（\sqrt{2}t-4\sqrt{2}）$=2t-8（t＞4）．
∴S与t的函数关系式为S=$\left\{\begin{array}{l}{8-2t（0＜t＜4）}\\{2t-8（t＞4）}\end{array}\right.$．
（3）如图3所示：

∵PD⊥DE
∴∠ADP=∠EDC．
在△PAD和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDC}\\{AD=DC}\\{∠PAD=∠ECD=45°}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△ECD．
∴AP=EC=$\sqrt{2}$．
∴4$\sqrt{2}$-$\sqrt{2}t$=$\sqrt{2}$．
解得：t=3．
设EF交x轴于点N，在Rt△CEN中，∠ECN=45°，CE=$\sqrt{2}$，
∴CN=CEcos∠ECN=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1
∴ON=7．
将x=7代入抛物线的解析式得：y=$-\frac{1}{4}×{7}^{2}+2×7=\frac{7}{4}$
∴点F的坐标为（7，$\frac{7}{4}$）．
如图4所示：

∵PD⊥DE
∴∠ADP=∠EDC．
在△PAD和△ECD中，$\left\{\begin{array}{l}{∠ADP=∠EDC}\\{AD=DC}\\{∠PAD=∠ECD=135°}\end{array}\right.$，
∴△PAD≌△ECD．
∴AP=EC=$\sqrt{2}$．
∴$\sqrt{2}t$-4$\sqrt{2}$=$\sqrt{2}$．
解得：t=5．
设EF交x轴于点N，在Rt△CEN中，∠ECN=45°，CE=$\sqrt{2}$，
∴CN=CEcos∠ECN=$\sqrt{2}×\frac{\sqrt{2}}{2}$=1
∴ON=9．
将x=9代入抛物线的解析式得：y=$-\frac{1}{4}×{9}^{2}+2×9$=$-\frac{9}{4}$
∴点F的坐标为（9，-$\frac{9}{4}$）．