Question

18．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为AB边上的中点，DE⊥AB，AD=2DE．
（1）求sinB的值；
（2）若CD=$\sqrt{5}$，求CE的值．

Answer 1

分析 （1）先证△ABC∽△AED得∠B=∠AED，设DE=x，则AD=2DE=2x、AE=$\sqrt{5}$x，从而得sinB=sin∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）由D为Rt△ABC斜边AB上的中点知AD=BD=CD=$\sqrt{5}$、AB=2$\sqrt{5}$，再求得AC=ABsinB=4、AE=$\frac{AD}{sin∠AED}$=$\frac{5}{2}$，从而由CE=AC-AE可得答案．

解答 解：（1）∵DE⊥AB，
∴∠ACB=∠ADE=90°，
∵∠A=∠A，
∴△ABC∽△AED，
∴∠B=∠AED，
设DE=x，则AD=2DE=2x，
∴AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\sqrt{5}$x，
则sinB=sin∠AED=$\frac{AD}{AE}$=$\frac{2x}{\sqrt{5}x}$=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；

（2）∵D为Rt△ABC斜边AB上的中点，
∴AD=BD=CD=$\sqrt{5}$，即AB=2$\sqrt{5}$，
则AC=ABsinB=2$\sqrt{5}$×$\frac{2\sqrt{5}}{5}$=4，AE=$\frac{AD}{sin∠AED}$=$\frac{\sqrt{5}}{\frac{2\sqrt{5}}{5}}$=$\frac{5}{2}$，
∴CE=AC-AE=4-$\frac{5}{2}$=$\frac{3}{2}$．

点评 本题主要考查解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义和相似三角形的性质、直角三角形的性质是解题的关键．