Question

8．如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，MN过C点，AD⊥MN于D，AC平分∠DAB．求证：MN为⊙O的切线．

Answer 1

分析 连接OC，如图，由OA=OC得到∠2=∠3，由AC平分∠DAB得到∠1=∠2，则∠1=∠3，于是可判断OC∥AD，由于AD⊥CD，则OC⊥CD，然后根据切线的判定定理即可得到结论．

解答 证明：连接OC，如图，
∵OA=OC，
∴∠CAB=∠ACO，
∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC=∠CAB，
∴∠DAC=∠ACO，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∴直线MN为⊙O的切线．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了相似三角形的判定与性质．