题目内容
15．
如图，小明在一次高尔夫球赛中，从山坡下O点打出一球向球洞A点飞去，球的飞行路线为抛物线．如果不考虑空气阻力，当球打到最大竖直高度12米时，球移动的水平距离为9米．已知山坡OA与水平方向OC的夹角为30°，O、A两点相距$\frac{12}{5}$米．在如图所建立的平面直角坐标系下（1）直接写出点A的坐标
（2）求出球的飞行路线所在抛物线的解析式
（3）直接判断小明这一杆能否把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
分析 （1）利用30°所对的直角边是斜边的一半求出AC，再根据勾股定理求OC，写出点A的坐标；
（2）根据顶点坐标和过原点求出抛物线的解析式；
（3）把点A的横坐标代入抛物线的解析式中，如果y值与$\frac{6}{5}$相等，则能进入A点；否则，不能打入球洞A点．
解答 解：（1）在Rt△AOC中，∵∠AOC=30°，OA=$\frac{12}{5}$，
∴AC=$\frac{6}{5}$，
由勾股定理得：OC=$\sqrt{O{A}^{2}-A{C}^{2}}$=$\sqrt{（\frac{12}{5}）^{2}-（\frac{6}{5}）^{2}}$=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，
∴A（$\frac{6\sqrt{3}}{5}$，$\frac{6}{5}$）；
（2）由题意得：顶点B（9，12），且抛物线过原点，
所以设抛物线的解析式为：y=a（x-9）2+12，
把（0，0）代入得：0=a（0-9）2+12，
a=-$\frac{4}{27}$，
∴球的飞行路线所在抛物线的解析式为：y=-$\frac{4}{27}$（x-9）2+12；
（3）当x=$\frac{6\sqrt{3}}{5}$时，y=-$\frac{4}{27}$（$\frac{6\sqrt{3}}{5}$-9）2+12≠$\frac{6}{5}$，
∴小明这一杆不能把高尔夫球从O点直接打入球洞A点．
点评 本题是二次函数的应用，考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，与几何中的直角三角形中30°角所对的直角边是斜边的一半相结合，并利用勾股定理求边长，表示点的坐标；并能判断该点是否在抛物线上．
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