Question

已知抛物线y=-x²+2mx-3经过点M（5，-8），并与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边）．
（1）求抛物线的顶点坐标；
（2）在抛物线上是否存在点P，使△ABP的面积为3？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：抛物线与x轴的交点

专题：

分析：（1）把M点坐标代入解析式可求得m，可求得抛物线的解析式，可求得其顶点坐标；
（2）由（1）可求得A、B坐标，由条件可求得P点的纵坐标，代入可求得P点的坐标．

解答：解：
（1）∵抛物线y=-x²+2mx-3经过点M（5，-8），
∴-8=-25+10m-3，解得m=2，
∴抛物线解析式为y=-x²+4x-3=-（x-2）²+1，
∴其顶点坐标为（2，1）；
（2）在y=-x²+4x-3中，令y=0可得-x²+4x-3=0，解得x=1或x=3，
∴A点为（1，0），B为（3，0），
∴AB=3-1=2，
设P点坐标为（x，y），
则S_△ABP=

1

2

×2×|y|=3，
解得y=±3，
当y=3时，可得3=-x²+4x-3，其判别式△=16-24＜0，该方程无实数根；
当y=-3时，可得-3=-x²+4x-3，解得x=0（舍去）或x=4，此时P点坐标为（-3，4）；
综上可知存在满足条件的点P，其坐标为（-3，4）．

点评：本题主要考查待定系数法求函数解析式和函数与x轴的交点坐标，在（1）中求得m的值是解题的关键，在（2）中求得P的纵坐标是解题的关键．