Question

14．在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，E为AB的中点，若在线段BD上取一点P，则PA+PE的最小值是（　　）

• A． 2$\sqrt{3}$
• B． 4
• C． 2$\sqrt{5}$
• D． 2$\sqrt{7}$

Answer 1

分析 如图，连接CE交BD于P，则PA+PE的最小值=CE，根据菱形的性质得到BC=AB=4，∠ABC=120°，由E为AB的中点，得到BE=$\frac{1}{2}$AB=2，过E作EF⊥BC交CB的延长线于F，得到∠FBE=60°，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：如图，连接CE交BD于P，则PA+PE的最小值=CE，
∵在菱形ABCD中，AB=4，∠A=60°，
∴BC=AB=4，∠ABC=120°，
∵E为AB的中点，
∴BE=$\frac{1}{2}$AB=2，
过E作EF⊥BC交CB的延长线于F，
∴∠FBE=60°，
∴BF=1，EF=$\sqrt{3}$，
∴CF=5，
∴CE=$\sqrt{C{F}^{2}+E{F}^{2}}$=2$\sqrt{7}$，
∴PA+PE的最小值是2$\sqrt{7}$，
故选D．

点评 本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，难度适中，确定点P的位置是解题的关键．