Question

3．在正方形ABCD中，E、F分别为射线DA、DC上的点（与正方形顶点不重合），AE=CF，作GF=BF交射线AB于点G，直线GF与BE交于点H．
（1）若点E、F分别在边DA、DC上，如图1，
①依题意补全图1；
②判断BE与GF的位置关系，并加以证明；
（2）若E、F分别在边DA、DC的延长线上，用等式表示线段EH、FH、DH之间的数量关系，并写出你的证明思路．

Answer 1

分析 （1）①画出图形；
②如图2，作辅助线，构建全等三角形，证明△ABE≌△BCF和Rt△EAB≌Rt△MBC，得∠MCB=∠ABE，则∠MNB=90°，所以GF⊥BE；
（2）作辅助线，构建全等三角形和等腰直角三角形，证明△AEB≌△MFG和△DEN≌△DFH，得DN=DH，∠NDE=∠HDF，再证明△NDH是等腰直角三角形，可得结论．

解答 解：（1）①如图1所示：
②BE⊥GF，理由是：
如图2，过C作CM∥GF，交AB于M，交BE于N，
∵四边形ABCD为正方形，
∴DC∥AB，AB=CB，∠A=∠DCB=90°，
∴FC∥GM，
∴四边形FGMC为平行四边形，
∴CM=GF，
∵GF=BF，
∴CM=BF，
∵AE=CF，∠A=∠DCB，AB=BC，
∴△ABE≌△BCF（SAS），
∴BE=BF，
∴CM=BE，
∴Rt△EAB≌Rt△MBC（HL），
∴∠MCB=∠ABE，
∵∠MCB+∠CMB=90°，
∴∠CMB+∠ABE=90°，
∴∠MNB=90°，
∵GF∥CM，
∴∠GHB=∠MNB=90°，
∴GF⊥BE；

（2）FH+EH=$\sqrt{2}$DH，理由是：
如图3，由（2）得：BE=BF=GF，
过G作GM⊥DC于M，
同理得：△AEB≌△MFG，
∴∠AEB=∠GFM，
延长BE至N，使FH=EN，连接DN，
∵AD=DC，AE=CF，
∴AD+AE=DC+CF，
即AE=DF，
∵∠AEB=∠GFM，
∴∠DEN=∠DFH，
∴△DEN≌△DFH（SAS），
∴DN=DH，∠NDE=∠HDF，
∵∠EDF=90°，
∴∠NDH=90°，
∴△NDH是等腰直角三角形，
∴NH=$\sqrt{2}$DH，
即NE+EH=$\sqrt{2}$DH，
∴FH+EH=$\sqrt{2}$DH．

点评 本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质、全等三角形的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定，第3问作辅助线构建等腰直角△DNH是关键，本题难度适中．