Question

已知：关于x的方程x²+（2m+4）x+m²+5m没有实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若关于x的一元二次方程mx²+（n-2）x+m-3=0有实数根，求证：该方程两根的符号相同；
（3）设（2）中方程的两根分别为α、β，若α：β=1：2，且n为整数，求m的最小整数值．

Answer 1

考点：根的判别式,根与系数的关系

专题：

分析：（1）根据一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根，代入计算即可得出答案；
（2）根据由于方程mx²+（n-2）x+m-3=0有两个实数根可知m≠0，当m＞4时，得出两根的积

m-3

m

＞0，从而得出方程的两根符号相同；
（3）由已知得m≠0，α+β=-

n-2

m

，α•β=

m-3

m

，再根据α：β=1：2，得出3α=-

n-2

m

，2a²=

m-3

m

，再进行整理得出（n-2）²=

9

2

m（m-3），根据m＞4，且n为整数，得出m为整数，即可得出答案．

解答：解：（1）∵关于x的方程x²+（2m+4）x+m²+5m没有实数根，
∴△=（2m+4）²-4×1×（m²+5m）＜0，
∴m＞4，
∴m的取值范围是m＞4；

（2）由于方程mx²+（n-2）x+m-3=0有两个实数根可知m≠0，
当m＞4时，

m-3

m

＞0，即方程的两根之积为正，
故方程的两根符号相同．  

（3）由已知得：m≠0，α+β=-

n-2

m

，α•β=

m-3

m

．
∵α：β=1：2，
∴3α=-

n-2

m

，2a²=

m-3

m

．

(n-2)2

9m2

=

m-3

2m

，即（n-2）²=

9

2

m（m-3）．
∵m＞4，且n为整数，
∴m为整数；
当m=6时，（n-2）²=

9

2

×6×3=81．
∴m的最小值为6．

点评：此题考查了根的判别式以及根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．