Question

（1）问题背景
如图①，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，∠ABC的平分线交直线AC于D，过点C作CE⊥BD，交直线BD于E，CE交直线BA于M．探究线段BD与CE的数量关系得到的结论是

 

．
（2）类比探索
在（1）中，如果把BD改为△ABC的外角∠ABF的平分线，其他条件均不变（如图②），（1）中的结论还成立吗？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．
（3）拓展延伸
在（2）中，如果AB=

1

2

AC，其他条件均不变（如图③），请直接写出BD与CE的数量关系为

 

．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,等腰直角三角形

专题：

分析：（1）根据角平分线的定义可得∠ABD=∠CBD，再利用“角边角”证明△BME和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=ME，再求出∠ADB=∠M，然后利用两角的正弦列式整理可得BD=CM，从而得证；
（2）根据角平分线的定义可得∠1=∠2，再根据对顶角相等求出∠3=∠4，然后利用“角边角”证明△BME和△BCE全等，根据全等三角形对应边相等可得CE=ME，再求出∠D=∠M，然后利用两角的正弦列式整理可得BD=CM，从而得证；
（3）根据（2）的求解思路解答即可．

解答：（1）解：∵BE是∠ABC的平分线，
∴∠ABD=∠CBD，
在△BME和△BCE中，

∠ABD=∠CBD BE=BE ∠BEM=∠BEC

，
∴△BME≌△BCE（ASA），
∴CE=ME，
∵CE⊥BD，∠BAC=90°，
∴∠ABD+∠M=90°，∠ADB+∠ABD=90°，
∴∠ADB=∠M，
∴sin∠ADB=sin∠M，
即

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=AC，
∴BD=CM，
∴BD=2CE；

（2）结论BD=2CE仍然成立．
证明：∵BD是∠ABF的平分线，
∴∠1=∠2，
∵∠1=∠3，∠2=∠4，
∴∠3=∠4，
在△CBE和△MBE中，

∠3=∠4 BE=BE ∠CEB=∠MEB=90°

，
∴△CBE≌△MBE（ASA），
∴CE=ME，
∴CM=2CE，
∵∠D+∠DCM=∠M+∠DCM=90°．
∴∠D=∠M，
∴sin∠D=sin∠M，
∴

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=AC，
∴BD=CM=2CE；

（3）解：同（2）可得

AB

BD

=

AC

CM

，
∵AB=

1

2

AC，
∴BD=

1

2

CM，
∴BD=CE．
故答案为：（1）BD=2CE；（3）BD=CE．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，准确识图判断出全等的三角形是解题的关键利用锐角的正弦列式求解更简便．