题目内容
9．如图，在矩形ABCD中，BC=2AB，点E是BC的中点，连接AE，DE．
（1）请直接写出线段AE与DE的数量关系和位置关系；
（2）若点F，G，H分别是BE，AE，EC的中点，连接GF，GH和DH，请判断线段GH与DH的数量和位置关系，并说明理由；
（3）若以点E为位似中心，作与△EBA位似的△EFG（点F与点B是对应顶点），△EFG与△EBA是位似比为k：1（0＜k＜1），BC=6，点H在直线BC上，请直接写出当GH=DH且GH⊥DH时，BH的长度（用含k的式子表示）．
分析 （1）利用等腰直角三角形的性质得出△ABE≌△DCE，进而得出AE=ED，AE⊥ED；
（2）根据△EGF与△EAB的相似比1：2，得出EH=HC=EC，进而得出△HGF≌△DHC，即可求出GH=HD，GH⊥HD；
（3）根据恰好使GH=HD且GH⊥HD时，得出△GFH≌△HCD，进而得出CH的长．
解答 解：（1）AE=ED，AE⊥ED．理由如下：
∵在矩形ABCD中，BC=2AB，点E是BC的中点，
∴分别BC以为直角顶点的△EAB和△EDC均是等腰三角形，
∴BE=EC=DC=AB，∠B=∠C=90°，
∴在△ABE与△DCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{∠B=∠C}\\{BE=CE}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴AE=DE，
∠AEB=∠DEC=45°，
∴∠AED=90°，
∴AE⊥ED．
综上所述，AE=ED，AE⊥ED．
（2）由题意，∠B=∠C=90°，AB=BE=EC=DC，
易证△EGF与△EAB的相似比1：2，
∴∠GFE=∠B=90°，GF=$\frac{1}{2}$AB，EF=$\frac{1}{2}$EB，
∴∠GFE=∠C，∴EH=HC=$\frac{1}{2}$EC，
∴GF=HC，FH=FE+EH=$\frac{1}{2}$EB=$\frac{1}{2}$EC=$\frac{1}{2}$BC=EC=CD，
易证△HGF≌△DHC（AAS）．
∴GH=HD，∠GHF=∠HDC．
∵∠HDC+∠DHC=90°．
∴∠GHF+∠DHC=90°
∴∠GHD=90°．
∴GH⊥HD．
（3）根据题意得出：∵当GH=HD，GH⊥HD时，
∴∠FHG+∠DHC=90°，
∵∠FHG+∠FGH=90°，
∴∠FGH=∠DHC，
在△HGF与△DHC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCH=∠GFH}\\{∠FGH=∠DHC}\\{DH=GH}\end{array}\right.$，
∴△GFH≌△HCD（AAS），
∴CH=FG，
∵EF=FG，
∴EF=CH，
∵△EGF与△EAB的相似比是k：1，BC=6，
∴BE=EC=3，
∴EF=3k，
∴CH的长为3k．
∴BH的长为6-3k．
点评 此题主要考查了位似图形的性质和全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的性质得出对应角与对应边之间的关系是解题关键．
同步轻松练习系列答案
课课通课程标准思维方法与能力训练系列答案| A． |  | B． |  | C． |  | D． |  |
如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于点D，则△ABD与△ADC的面积比为1：3．
如图，在直角三角形ABC中，点E在线段AB上，过点E作EH⊥AC交AC于点H，点F在BC的延长线上，连结EF交AC于点O．若AB=2，BC=1，且$\frac{CF}{AE}=2$，则$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$，OH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．| A． | 若方程有一根为1，则a+b+c=0 | B． | 若a、c异号，则方程必有解 | ||
| C． | 若b=0，则方程两根互为相反数 | D． | 若c=0，则方程有一根为0 |
如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4）．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC=2，连接BC、CQ．设点P运动的时间为t（0＜t＜4）秒．| A． | a=40，b=50，c=60 | B． | a=7，b=24，c=25 | C． | a=$\sqrt{41}$，b=4，c=5 | D． | a=$\frac{5}{4}$，b=1，c=$\frac{3}{4}$ |