Question

17．如图，在直角三角形ABC中，点E在线段AB上，过点E作EH⊥AC交AC于点H，点F在BC的延长线上，连结EF交AC于点O．若AB=2，BC=1，且$\frac{CF}{AE}=2$，则$\frac{OE}{OF}$=$\frac{1}{4}$，OH=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

Answer 1

分析 首先由勾股定理求得AC的长，然后过点E作DE∥BF，从而可得到△AED∽△ABC，△EDO∽△FCO，从而可证明$\frac{OE}{OF}=\frac{ED}{CF}=\frac{1}{4}$；然后再证明△DHD∽△AEH，从而可得到AH=4OD，然后由△EDO∽△FCO可得到OF=4OE，然后得到AC=5OH，最后即可求得OH的长度．

解答 解：过点E作ED∥BF．

∵ED∥BF．
∴△AED∽△ABC，△EDO∽△FCO．
∴$\frac{ED}{AE}=\frac{BC}{AB}=\frac{1}{2}$，$\frac{OE}{OF}=\frac{ED}{CF}$．
∴$ED=\frac{1}{2}AE$．
又∵CF=2AE，
∴CF=4ED．
∴$\frac{OE}{OF}=\frac{DE}{4ED}=\frac{1}{4}$．
∵∠EDH=∠AED，∠EHD=∠AED=90°，
∴△EHD∽△AED．
∵∠A=∠A，∠AHE=∠AED，
∴△AED∽△AEH．
∴△DHE∽△AEH．
∴AH=2EH=4DH．
∵△EDO∽△FCO，
∴$\frac{OD}{OC}=\frac{OE}{OF}=\frac{1}{4}$．
∴OC=4OD．
∴AH+OC=4DH+4OD=4HO．
∴AC=5HO．
在Rt△ABC中，AC=$\sqrt{A{B}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}=\sqrt{5}$．
∴OH=$\frac{AC}{5}$=$\frac{\sqrt{5}}{5}$．
故答案为：$\frac{1}{4}$；$\frac{\sqrt{5}}{5}$．

点评 本题主要考查的是相似三角形的性质和判定，过点E作ED∥BF，构造相似三角形，然后利用相似三角形的性质求解是解题的关键．