Question

14．如图，在平面直角坐标系中，点A （0，4）．动点P从原点O出发，沿x轴正方向以每秒2个单位的速度运动，同时动点Q从点A出发，沿y轴负方向以每秒1个单位的速度运动，以QO、QP为邻边构造平行四边形OQPB，在线段OP的延长线长取点C，使得PC=2，连接BC、CQ．设点P运动的时间为t（0＜t＜4）秒．
（1）求点B、C的坐标；（用含t的代数式表示）
（2）当t=1时，在平面内存在一点D，使得以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，直接写出此时点D的坐标．
（3）当∠QPC=90°+∠α（其中α为△PBC的一个内角）时，求t的值．

Answer 1

分析 （1）根据平行四边形的性质得出QO=PB，进而得出点B，C的坐标即可；
（2）根据平行四边形的性质列出点D的三种情况得出坐标即可；
（3）根据α为△PBC的一个内角的两种情况进行分析解答即可．

解答 解：（1）设点P运动的时间为t，
可得：OP=2t，QO=OA-AQ=4-t，
所以点B的坐标为（2t，t-4），点C的坐标为（2+2t，0）；
（2）要使以点Q、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
则可得点D的坐标有三种情况，

当QD∥BC，当t=1时，OD₁=PC=2，故点D₁的坐标为（-2，0）；
当QD∥BC，当t=1时，点B的坐标为（2，-3），3+3=6，故可得点D₂的坐标为（2，6）；
当QB∥DC，当t=1时，点C的坐标为（4，0），故可得点D₃的坐标为（6，-6）；
（3）因为当∠QPC=90°+∠α（其中α为△PBC的一个内角）时，
可得：当∠PCB=α时，△QPO≌△PCB，OP=PC，即2t=2，解得：t=1；
当∠PBC=α时，△QPO～△PCB，可得：$\frac{PC}{BP}=\frac{QO}{OP}$，
即：$\frac{2}{4-t}=\frac{4-t}{2t}$，
解得：${t}_{1}=6-2\sqrt{5}，{t}_{2}=6+2\sqrt{5}$（舍去）．

点评 此题考查四边形的综合题，关键是根据平行四边形的性质进行分析，结合相似三角形和坐标的问题进行解答．