Question

20．如图，在△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，AD⊥BC于点D，则△ABD与△ADC的面积比为1：3．

Answer 1

分析 根据∠BAC=90°，可得∠BAD+∠CAD=90°，再根据垂直的定义得到∠ADB=∠CDA=90°，利用三角形的内角和定理可得∠B+∠BAD=90°，根据同角的余角相等得到∠B=∠CAD，利用两对对应角相等两三角形相似得到△ABD∽△CAD，由tanB=tan60°=$\frac{AD}{BD}$=$\sqrt{3}$，再根据相似三角形的面积比等于相似比（对应边的之比）的平方即可求出结果．

解答 解：∵∠BAC=90°，
∴∠BAD+∠CAD=90°，
又∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠CDA=90°，
∴∠B+∠BAD=90°，
∴∠B=∠CAD，又∠ADB=∠CDA=90°，
∴△ABD∽△CAD，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△CAD}}$=（$\frac{AB}{AC}$）²，
∵∠B=60°，
∴$\frac{AB}{AC}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
∴$\frac{{S}_{△ABD}}{{S}_{△CAD}}$=（$\frac{AB}{AC}$）²=$\frac{1}{3}$．
故答案为：1：3．

点评 此题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似比即为对应边之比，周长比等于相似比，面积之比等于相似比的平方是解决问题的关键．