Question

19．如图，已知PA是⊙O的切线，切点为A，PC与⊙O相交于B，C点，且AB⊥PC于点B，点D为$\widehat{BC}$上一点，连接AD于点E，且∠PAB=∠DAB．
（1）求证：AB=BD；
（2）若AB=8，tan∠P=$\frac{4}{3}$，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）由弦切角定理得出∠PAB=∠D，由∠PAB=∠DAB，得出∠D=∠DAB，即可得出结论；
（2）连接AC，先证明AC是⊙O的直径，再由三角函数求出PB，由勾股定理求出PA，证明△PAC∽△PBA，得出对应边成比例求出AC，即可得出⊙O的半径．

解答 （1）证明：∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAB=∠D，
∵∠PAB=∠DAB，
∴∠D=∠DAB，
∴AB=BD；
（2）解：连接AC，如图所示：
∵AB⊥PC，
∴∠ABP=∠ABC=90°，
∴AC是⊙O的直径，
∵AB=8，tan∠P=$\frac{AB}{PB}$=$\frac{4}{3}$，
∴PB=6，
∴PA=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAC=90°，
∴∠PAC=∠ABP=90°，
又∵∠P=∠P，
∴△PAC∽△PBA，
∴$\frac{AC}{AB}=\frac{PA}{PB}$，
即$\frac{AC}{8}=\frac{10}{6}$，
解得：AC=$\frac{40}{3}$，
∴OA=$\frac{1}{2}$AC=$\frac{20}{3}$，
即⊙O的半径为$\frac{20}{3}$．

点评 本题考查了切线的性质、弦切角定理、三角函数、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握切线的性质和圆的有关定理，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．