Question

7．已知边长为4的正方形截取一个角后成为五边形ABCDE（如图），其中AF=2，BF=1．若在AB上有一点P使矩形MPND的面积最大，请你求出此时矩形MPND的边长DN、PN．

Answer 1

分析 设DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积为S=xy，再结合已知找出y与x的关系，代入后便可求解．

解答 解：设矩形PNDM的边DN=x，NP=y，则矩形PNDM的面积S=xy（2≤x≤4），过点B作BH⊥PN于点H，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CN=4-x，EM=4-y．
∵EF∥BH，
∴∠BAF=∠PBH，∠F=∠BHP=90°，
∴△ABF∽△BPH，
∴$\frac{PH}{BH}$=$\frac{BF}{AF}$，
∴$\frac{NP-BC}{CN}$=$\frac{BF}{AF}$，即$\frac{y-3}{4-x}$=$\frac{1}{2}$，
∴y=-$\frac{1}{2}$x+5，
S=xy=-$\frac{1}{2}$x²+5x（2≤x≤4），
∵此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，
∴当x≤5时，函数值是随x的增大而增大．
对2≤x≤4来说，当x=4，即PM=4时，S有最大值，
∴S_最大=-$\frac{1}{2}$×4²+5×4=12．
∴DN=4，PN=3．

点评 本题考查的是相似三角形的判定与性质，解决此题的关键在于在AB上找一点P，转变为求PM、PN的长．