Question

4．如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连接CF并延长交BA的延长线于点P．
（1）求证：PC是⊙O的切线；
（2）若AB=4，AP：PC=1：2，求CF的长．

Answer 1

分析 （1）连接OC，证明△AOF≌△COF，得到∠OCF=∠OAF=90°，根据切线的判定定理证明PC是⊙O的切线；
（2）根据切线长定理求出PC的长，根据平行线分线段成比例定理得到PF与FC之比，计算得到答案．

解答 （1）证明：连接OC，
∵AB为⊙O的直径，∠ACB=90°，又OE⊥AC，
∴BC∥OF，
∴∠AOF=∠OBC，∠FOC=∠OCB，
∵OB=OC，∴∠OBC=∠OCB，
∴∠AOF=∠COF，
在△AOF和△COF中，
$\left\{\begin{array}{l}{OA=OC}\\{∠AOF=∠COF}\\{OF=OF}\end{array}\right.$，
∴△AOF≌△COF，
∴∠OCF=∠OAF=90°，
∴PC是⊙O的切线；
（2）设AP=x，则PC=2x，
由切割线定理得，PC²=PA•PB，
即4x²=x（x+4），
解得x=$\frac{4}{3}$，
∵BC∥OF，∴$\frac{PF}{FC}$=$\frac{PO}{OB}$，
解得，FC=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查的是切线的判定和性质、全等三角形的判定和性质，掌握相关的判定定理和性质定理是解题的关键．