Question

11．如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A的坐标为（-4，0），点B的坐标为（0，4），点C、D分别为OA、OB的中点，若正方形OCED绕点O顺时针旋转，得正方形OC′E′D′．记旋转角为a（0°＜a＜360°），连结AC′、BD′，设直线AC′与直线BD′相交于点F，则点F的纵坐标的最大值为$\sqrt{3}$+1．

Answer 1

分析 首先找到使点F的纵坐标最大时点F的位置（点F与点E′重合时），然后运用勾股定理及30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识即可求出点F的纵坐标的最大值．

解答 解：如图，

∵∠AOB=∠D′OC′，
∴∠ACO′=∠BOD′，
在△AOC′和△BOD′中，
$\left\{\begin{array}{l}{AO=BO}\\{∠AOC′=∠BOD′}\\{OC′=OD′}\end{array}\right.$，
∴△AOC′≌△BOD′，
∴∠OAF=∠OBF，
∵∠AGO=∠BOF
∴∠BFA=∠BOA=90°，
∴点F、B、A、O四点共圆，
∴当点F在劣弧上运动时，点F的纵坐标随∠FAO的增大而增大，
∵OC′=2，
∴点C′在以点O为圆心，2为半径的圆O上运动，
∴当AF与⊙O相切时，∠C′AO（即∠FAO）最大，
此时∠AC′O=90°，点E′与点F重合，点F的纵坐标达到最大．
过点F作FH⊥x轴，垂足为H，如图所示．
∵∠AC′O=90°，C′O=2，AO=4，
∴∠E′AO=30°，AC′=2$\sqrt{3}$．
∴AF=2$\sqrt{3}$+2．
∵∠AHF=90°，∠FAH=30°，
∴FH=$\frac{1}{2}$AF=$\frac{1}{2}$×（2$\sqrt{3}$+2）=$\sqrt{3}$+1．
∴点P的纵坐标的最大值为$\sqrt{3}$+1．

点评 本题主要考查了几何变换综合题，涉及全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的外角性质、30°角所对的直角边等于斜边的一半等知识，找到使点F的纵坐标最大时点F的位置是解决问题的关键．