Question

4．如图，抛物线y=-x²-2x+3与y轴交于点C，与x轴交于点A、B（点B在点A的左侧），设J为y轴正半轴上的一个点，请在抛物线y=-x²-2x+3上求一点K，使得△OKJ为等腰直角三角形．

Answer 1

分析 分∠OKJ=90°及∠KOJ=90°两种情况考虑，当∠OKJ=90°时，根据等腰直角三角形的性质可以设点J的坐标为（0，2n）（n＞0），用n表示出来K点的坐标，将K点的坐标代入抛物线解析式中得到关于n的一元二次方程，解方程即可得出n值，由此得出K点的坐标；当∠KOJ=90°时，点K与点A（或点B）重合，利用二次函数图象上点的坐标特征即可求出点A、B的坐标，从而得出点K的坐标．综上此题得解．

解答 解：当∠OKJ=90°时，
设J点的坐标为（0，2n）（n＞0）．
∵△OKJ为等腰直角三角形，
∴K点的坐标为（-n，n）或（n，n）．
∵点K为抛物线图象上的点，
∴有n=-n²+2n+3，或n=-n²-2n+3，
解得：n₁=$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，n₂=$\frac{1-\sqrt{13}}{2}$（舍去）；或n₁=$\frac{\sqrt{21}-3}{2}$，n₂=$\frac{-\sqrt{21}-3}{2}$（舍去）；
当∠KOJ=90°时，点K与点A（或点B）重合，
∵y=-x²-2x+3=-（x+3）（x-1）=0，
∴点B（-3，0），点A（1，0），
∴此时点K为（-3，0）或（1，0）．
故点K的坐标为（-$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$，$\frac{1+\sqrt{13}}{2}$）或（$\frac{\sqrt{21}-3}{2}$，$\frac{\sqrt{21}-3}{2}$）或（-3，0）或（1，0）．

点评 本题考查了等腰直角三角形的性质、抛物线与x轴的交点以及解一元二次方程，分∠OKJ=90°及∠KOJ=90°两种情况考虑是解题的关键．