Question

14．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，点O为Rt△ABC内一点，连接A0、BO、CO，且∠AOC=∠COB=BOA=120°，按下列要求画图（保留画图痕迹）：以点B为旋转中心，将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），则∠A′BC=90°，OA+OB+OC=$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 （1）先根据三角函数的定义求出∠ABC的度数，再根据旋转的性质得OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，则∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=90°；
（2）先判断△BOO′为等边三角形，所以OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，再证明点C、O、O′、A′共线，从而得到A′C=OC+OB+OA，然后利用勾股定理计算A′C即可．

解答 解：（1）∵∠C=90°，AC=1，BC=$\sqrt{3}$，
∴tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$═$\frac{\sqrt{3}}{3}$，AB=2，
∴∠ABC=30°，
∵将△AOB绕点B顺时针方向旋转60°，得到△A′O′B（得到A、O的对应点分别为点A′、O′），
∴OA=O′A′，BO=BO′，BA′=BA=2，∠OBO′=∠ABA′=60°，∠BO′A′=∠BOA=120°，
∴∠A′BC=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°；
（2）∵BO=BO′，∠OBO′=∠ABA′=60°
∴△BOO′为等边三角形，
∴OO′=BO，∠BOO′=∠BO′O=60°，
而∠BOC=120°，
∴∠COO′=∠BOC+∠BOO′=60°+120°=180°，
∴点O′在直线CO上，
同理可得点O、O′、A′共线，
∴A′C=OC+OO′+O′A′=OC+OB+OA，
∵∠CBA′=∠CBA+∠ABA′=30°+60°=90°，
∴A′C=$\sqrt{B{C}^{2}+BA{′}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
即OA+OB+OC=$\sqrt{7}$．
故答案为90°，$\sqrt{7}$．

点评 本题考查了作图-旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．解决（2）小题的关键是证明点C、O、O′、A′共线．