题目内容

如图，已知△ABC中，AB=AC=20cm，BC=16cm，点D为AB的中点．
（1）如果点P在线段BC上以6cm/s的速度由B点向C点运动，同时点Q在线段CA上由C向A点运动．
①若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，经过1秒后，△BPD与△CQP是否全等，请说明理由；
②若点Q的运动速度与点P的运动速度不相等，当点Q的运动速度为多少时，能够使△BPD与△CQP全等？
（2）若点Q以②中的运动速度从点C出发，点P以原来的运动速度从点B同时出发，都逆时针沿△ABC三边运动，求经过多长时间点P与点Q第一次在△ABC的哪条边上相遇？
考点：全等三角形的判定与性质,等腰三角形的性质
专题：动点型
分析：（1）①先求得BP=CQ=6，PC=BD=10，然后根据等边对等角求得∠B=∠C，最后根据SAS即可证明；
②因为VP≠VQ，所以BP≠CQ，又∠B=∠C，要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=8，根据全等得出CQ=BD=10，然后根据运动速度求得运动时间，根据时间和CQ的长即可求得Q的运动速度；
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程，据此列出方程，解这个方程即可求得．
解答：解：（1）①因为t=1（秒），
所以BP=CQ=6（厘米）
∵AB=20，D为AB中点，
∴BD=10（厘米）
又∵PC=BC-BP=16-6=10（厘米）
∴PC=BD
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
在△BPD与△CQP中，
BP=CQ
∠B=∠C
PC=BD
，
∴△BPD≌△CQP（SAS），
②因为VP≠VQ，
所以BP≠CQ，
又因为∠B=∠C，
要使△BPD与△CQP全等，只能BP=CP=8，即△BPD≌△CPQ，
故CQ=BD=10．
所以点P、Q的运动时间t=
BP
6
=
8
6
=
4
3
（秒），
此时V Q=
CQ
t
=
10
4
3
=7.5（厘米/秒）．
（2）因为VQ＞VP，只能是点Q追上点P，即点Q比点P多走AB+AC的路程
设经过x秒后P与Q第一次相遇，依题意得
15
2
x=6x+2×20，
解得x=
80
3
（秒）
此时P运动了
80
3
×6=160（厘米）
又因为△ABC的周长为56厘米，160=56×2+48，
所以点P、Q在AB边上相遇，即经过了
80
3
秒，点P与点Q第一次在AB边上相遇．
点评：本题考查了三角形全等的判定和性质，等腰三角形的性质，以及数形结合思想的运用，解题的根据是熟练掌握三角形全等的判定和性质．
练习册系列答案
相关题目
如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD的中心，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（　　）
A、4
B、
21
5
C、
35
8
D、
17
4
己知：如图，AD⊥BC，垂足为D，矩形EFGH的顶点都在△ABC的边上，且BC=36cm，AD=12cm，
EF
EG
=
5
9
．求矩形EFGH的周长．
△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．
如图，己知平面上有四点A、B、C、D．
画直线AB、CD交于点E；
线段AC，BD交于点F；
作射线BC；
连接FE交BC于点G；
连接AD，并将其反向延长．
如图，正方形ABCD的对角线AC、BD的交点为O，点E、F分别在CD、BC边上，且∠EOF=90°．
（1）OE与OF相等吗？若相等请说明理由；
（2）若AC=10cm，求阴影四边形的面积．
作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，将△ABC向右平移5个单位得到△A1B1C1，再将△A1B1C1绕点B1顺时针旋转90°得到△A2B2C2．
（1）作出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）求出△A1B1C1旋转时扫过的面积．
计算：
（1）
32
-2
1
8
+
0.5

（2）|-2|+（3-π）0-2-1+
3-27
．
如图，M、N分别为AD、BC的中点，且AB=CD，求证：∠1=∠2．

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