△ABC中.AB=AC.∠BAC=90°.P为BC上的动点.小慧拿含45°角的透明三角板.使45°角的顶点落在点P.三角板可绕P点旋转．(1)如图a.当三角板的两边分别交AB.AC于点E.F时．求证:△BPE∽△CFP,(2)将三角板绕点P旋转到图b情形时.三角板的两边分别交BA的延长线.边AC于点E.F．△BPE与△CFP还相似吗?的条件下.连结EF.△BPE与� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，P为BC上的动点，小慧拿含45°角的透明三角板，使45°角的顶点落在点P，三角板可绕P点旋转．
（1）如图a，当三角板的两边分别交AB、AC于点E、F时．求证：△BPE∽△CFP；
（2）将三角板绕点P旋转到图b情形时，三角板的两边分别交BA的延长线、边AC于点E、F．△BPE与△CFP还相似吗？（只需写出结论）
（3）在（2）的条件下，连结EF，△BPE与△PFE是否相似？若不相似，则动点P运动到什么位置时，△BPE与△PFE相似？说明理由．

考点：相似三角形的判定

专题：动点型

分析：（1）找出△BPE与△CFP的对应角，其中∠BPE+∠CPF=135°，∠CPF+∠CFP=135°，得出∠BPE=∠CFP，从而解决问题；
（2）利用（1）小题证明方法可证：△BPE∽△CFP；
（3）动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，同（1），可证△BPE∽△CFP，得 CP：BE=PF：PE，而CP=BP，因此 PB：BE=PF：PE，进而求出，△BPE与△PFE相似．

解答：（1）证明：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（2）解：△BPE∽△CFP；
理由：∵在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，
∴∠B=∠C=45°．
∵∠B+∠BPE+∠BEP=180°，
∴∠BPE+∠BEP=135°，
∵∠EPF=45°，
又∵∠BPE+∠EPF+∠CPF=180°，
∴∠BPE+∠CPF=135°，
∴∠BEP=∠CPF，
又∵∠B=∠C，
∴△BPE∽△CFP（两角对应相等的两个三角形相似）．

（3）解：动点P运动到BC中点位置时，△BPE与△PFE相似，
证明：同（1），可证△BPE∽△CFP，
得 CP：BE=PF：PE，
而CP=BP，
因此 PB：BE=PF：PE．
又因为∠EBP=∠EPF，
所以△BPE∽△PFE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定．它以每位学生都有的三角板在图形上的运动为背景，既考查了学生图形旋转变换的思想，静中思动，动中求静的思维方法，又考查了学生动手实践、自主探究的能力．