Question

5．如图，△ABC中，∠CAB=90°，AC=AB，AO是高，CE平分∠ACO交AO于E，把△CAE沿CA折叠得△CAD，F是CE的中点，连接FD、FB．若AE=2，则S_{四边形FDAB}=6+3$\sqrt{2}$．

Answer 1

分析 连接DE、BE，根据折叠的性质得：AC是DE的垂直平分线，∠DAC=∠CAO，AD=AE=2，得△ADE是等腰直角三角形，利用勾股定理计算DE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，则DG=EG=$\sqrt{2}$，易证△GCE≌△OCE，所以CG=CO，CG=AO=2+$\sqrt{2}$，根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分可知：S_△EFB=S_△EOB，S_△EFD=S_△EGC，将所求四边形面积分成四个三角形面积的和进行计算即可．

解答 解：连接DE、BE，
由折叠得：AC是DE的垂直平分线，∠DAC=∠CAO，AD=AE=2，
∵△ACB是等腰直角三角形，AO是高，
∴CO=BO，∠CAO=45°，
∴∠DAC=45°，
∴∠DAE=90°，
由勾股定理得：DE=$\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{2}$，
∴DG=EG=$\sqrt{2}$，
∵△AGE是等腰直角三角形，
∴AG=$\sqrt{2}$，
∵CE平分∠ACB，EG⊥AC，EO⊥BC，
∴OE=EG=$\sqrt{2}$，
易证△GCE≌△OCE，
∴CG=CO，
设CG=x，则CO=x，
∵△ACO是等腰直角三角形，
∴CO=AO=AE+EO，
即x=2+$\sqrt{2}$，
∴CG=2+$\sqrt{2}$，
∵F是CE的中点，O是BC的中点，
∴S_△EFB=$\frac{1}{2}$S_△BEC，S_△EOB=$\frac{1}{2}$S_△BEC，
∴S_△EFB=S_△EOB，
同理可得：S_△EFD=S_△EGC，
∴S_{四边形FDAB}=S_△ADE+S_△EFD+S_△ABE+S_△BEF，
=$\frac{1}{2}$AE•AD+S_△EGC+S_△ABE+S_△EOB，
=$\frac{1}{2}$×2×2+$\frac{1}{2}$EG•CG+S_△AOB，
=2+$\frac{1}{2}$×$\sqrt{2}×（2+\sqrt{2}）$+$\frac{1}{2}$（2+$\sqrt{2}$）²，
=2+$\sqrt{2}$+1+3+2$\sqrt{2}$，
=6+3$\sqrt{2}$，
故答案为：6+3$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了三角形全等的性质和判定、等腰直角三角形的性质和判定、三角形中线及等腰三角形的三线合一的性质，熟练掌握三角形的中线将三角形面积平分这一性质是本题的关键，最后利用了求和法求不规则四边形的面积．