Question

20．（1）如图①，点A、点B在线段l的同侧，请你在直线l上找一点P，使得AP+BP的值最小（不需要说明理由）．
（2）如图②，菱形ABCD的边长为6，对角线AC=6$\sqrt{3}$，点E，F在AC上，且EF=2，求DE+BF的最小值．
（3）如图③，四边形ABCD中，AB=AD=6，∠BAD=60°，∠BCD=120°，四边形ABCD的周长是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图①中，′作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接PA．则点P即为所求的点．
（2）如图②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于F，由四边形DEFM是平行四边形，推出DE=FM，推出DE+BF=FM+FB=BM，根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，由四边形ABCD是菱形，在Rt△BDM中，根据BM=$\sqrt{B{D}^{2}+D{M}^{2}}$计算即可．
（3）如图③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC．首先证明AC=CD+CB，再证明当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大．

解答 解：（1）如图①中，′作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交直线l于P，连接PA．则点P即为所求的点．


（2）如图②中，作DM∥AC，使得DM=EF=2，连接BM交AC于F，

∵DM=EF，DM∥EF，
∴四边形DEFM是平行四边形，
∴DE=FM，
∴DE+BF=FM+FB=BM，
根据两点之间线段最短可知，此时DE+FB最短，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=OC=3$\sqrt{3}$，
在Rt△ADO中，OD=$\sqrt{A{D}^{2}-O{A}^{2}}$=3，
∴BD=6，
∵DM∥AC，
∴∠MDB=∠BOC=90°，
∴BM=$\sqrt{B{D}^{2}+D{M}^{2}}$=$\sqrt{{6}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{10}$．
∴DE+BF的最小值为2$\sqrt{10}$．

（3）如图③中，连接AC、BD，在AC上取一点，使得DM=DC．

∵∠DAB=60°，∠DCB=120°，
∴∠DAB+∠DCB=180°，
∴A、B、C、D四点共圆，
∵AD=AB，∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠ABD=∠ACD=60°，
∵DM=DC，
∴△DMC是等边三角形，
∴∠ADB=∠MDC=60°，CM=DC，
∴∠ADM=∠BDC，
∵AD=BD，
∴△ADM≌△BDC，
∴AM=BC，
∴AC=AM+MC=BC+CD，
∵四边形ABCD的周长=AD+AB+CD+BC=AD+AB+AC，
∵AD=AB=6，
∴当AC最大时，四边形ABCD的周长最大，
∴当AC为△ABC的外接圆的直径时，四边形ABCD的周长最大，易知AC的最大值=4$\sqrt{3}$，
∴四边形ABCD的周长最大值为12+4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、轴对称、全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质、四点共圆、圆的直径最大等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用辅助圆解决最值问题，属于中考压轴题．