Question

19．如图，正方形ABCD的边长是2，点E是射线AB上一动点（点E与点A、B不重合），过点E作FG⊥DE交射线CB于点F、交DA的延长线于点G．
（1）求证：DE=GF．
（2）连结DF，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式．
（3）当Rt△AEG有一个角为30°时，求线段AE的长．

Answer 1

分析 （1）过点F作FH⊥DA，垂足为H，只要证明，△FHG≌△DAE即可解决问题；
（2）由（1）可知DE=FG，所以△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来，所以解析式就可以表示出来；
（3）分两种切线画出图形分别解决即可；

解答 （1）证明：过点F作FH⊥DA，垂足为H，

∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA，
∵DE⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，
又∴∠DAE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△DAE，
∴DE=GF．
（2）∵△FHG≌△DAE
∴FG=DE=$\sqrt{A{D}^{2}+A{E}^{2}}$，
∵S_△DGF=$\frac{1}{2}$FG•DE，
∴y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$，
∴解析式为：y=$\frac{4+{x}^{2}}{2}$（0＜x＜2）．

（3）①当∠AEG=30°时，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，AD=2，∠AED=90°-30°=60°，
∴AE=AD•tan30°=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，
②当∠AEG=60°时，
在Rt△ADE中，∵∠DAE=90°，AD=2，∠AED=90°-60°=30°，
∴AE=AD•tan60°=2$\sqrt{3}$，
综上所述，满足条件的AE的值为2$\sqrt{3}$或$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题考查四边形综合题、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考常考题型．