Question

19．等腰△ABC中，AB=AC，如果一条腰长为5，一条中线为3，求底角的正弦值．

Answer 1

分析 根据题意可分两种情况，然后分类讨论计算各边的值，从而可以解答本题．

解答 解：根据题题可知，分两种情况：
第一种情况：当这条中线为底边中线时，
∵等腰△ABC中，AB=AC，
∴底边上的中线也是底边上的高．
∵腰长为5，中线为3，
∴底角的正弦值=$\frac{3}{5}$．
第二种情况：当这条中线为腰上的中线时，
等腰△ABC中，AB=AC，腰长为5，腰上的中线为3，
cos∠BAC=$\frac{{5}^{2}+（\frac{5}{2}）^{2}-{3}^{2}}{2×5×\frac{5}{2}}$，
cos∠BAC=$\frac{{5}^{2}+{5}^{2}-B{C}^{2}}{2×5×5}$．
解得BC=$\frac{\sqrt{22}}{2}$．
∴底边上的高为：$\sqrt{A{B}^{2}-（\frac{BC}{2}）^{2}}=\sqrt{{5}^{2}-（\frac{\sqrt{22}}{4}）^{2}}$=$\sqrt{25-\frac{11}{8}}=\frac{3\sqrt{42}}{4}$．
∴底角的正弦值=$\frac{\frac{3\sqrt{42}}{4}}{5}=\frac{3\sqrt{42}}{20}$．
即底角的正弦值是$\frac{3}{5}或\frac{3\sqrt{42}}{20}$．

点评 本题考查解直角三角形和等腰三角形的性质，解题的关键是利用分类讨论的思想进行解答，找出所求问题需要的条件．