Question

4．在?ABCD中，∠A的平分线分CD为4和5两段，cos∠A=$\frac{3}{5}$，则?ABCD的面积为36或$\frac{144}{5}$cm²．

Answer 1

分析 根据题意画出图形，分两种情况讨论：（1）当DF=5m时；（2）当DF=4m时．证出AD=DF，求出AD的长，根据三角函数和勾股定理求出DE的长，计算面积即可．

解答 解：（1）如图1，当DF=5m时，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DF=5m，
∵cos∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{5}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=3，
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{{5}^{2}-{3}^{3}}$=4，
S_{平行四边形ABCD}=9×4=36cm²．
（2）如图2，当DF=4m时，
∵AB∥CD，
∴∠1=∠3，
∵∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴AD=DF=4m，
∵cos∠DAB=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{AD}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{AE}{4}$=$\frac{3}{5}$，
∴AE=$\frac{12}{5}$，
在Rt△AED中，DE=$\sqrt{{4}^{2}-（\frac{12}{5}）^{2}}$=$\frac{16}{5}$，
S_{平行四边形ABCD}=9×$\frac{16}{5}$=$\frac{144}{5}$cm²．
故答案为36或$\frac{144}{5}$cm²．

点评 本题考查了平行四边形的性质，涉及勾股定理、三角函数、等腰三角形的性质等知识，要注意分类讨论．