Question

10．已知：在△ABC中，∠A=60°，∠B=45°，AB=2．求△ABC的面积（结果可保留根号）．

Answer 1

分析 作CH⊥AB于H，如图，设AH=x，在Rt△ACH中，利用∠A的正切可表示出CH=$\sqrt{3}$x，在Rt△BCH中利用∠B的正切可表示出BH=x，则x+$\sqrt{3}$x=2，解得x=$\sqrt{3}$-1，所以CH=3-$\sqrt{3}$，然后根据三角形面积公式求解．

解答 解：作CH⊥AB于H，如图，设AH=x，
在Rt△ACH中，∵tanA=$\frac{CH}{AH}$，
∴CH=x•tan60°=$\sqrt{3}$x，
在Rt△BCH中，∵tanB=$\frac{CH}{BH}$，
∴BH=x•tan45°=x，
而AH+BH=AB=2，
∴x+$\sqrt{3}$x=2，解得x=$\sqrt{3}$-1，
∴CH=$\sqrt{3}$x=3-$\sqrt{3}$，
∴△ABC的面积=$\frac{1}{2}$×（3-$\sqrt{3}$）×2=3-$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了解直角三角形：在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程就是解直角三角形．解决本题的关键是作辅助线使∠A、∠B在直角三角形中．