Question

在平面直角坐标系xOy中，直线AB与直线y=-

3

4

x+3分别交x轴于点B（-1，0）和点C，分别交y轴于点A（0，1）和点F，点D是射线FC上的一个动点．
（1）求直线AB的解析式和点D横坐标的取值范围；
（2）当△CBD为直角三角形时，求BD的长；
（3）当△CBD为等腰直角三角形时，求点D的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将B（-1，0），A（0，1）代入，利用待定系数法即可求出直线AB的解析式；根据点D是射线FC上的一个动点及F点横坐标为0，即可求出点D横坐标的取值范围；
（2）先由直线y=-

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x+3交x轴于点C，求出C点坐标为（4，0）．根据点D是射线FC上的一个动点及B（-1，0），可知当△CBD为直角三角形时，只能∠BDC=90°，设D（x，-

3

4

x+3）．在△CBD中根据勾股定理列出方程（x+1）²+（-

3

4

x+3）²+（x-4）²+（-

3

4

x+3）²=5²，解方程求出x的值，再代入两点间的距离公式，计算即可求出BD的长；
（3）由（2）可知，满足△CBD为直角三角形的D点只有一个，求出此时CD的长度，与BD进行比较，如果相等，（2）中所求D点坐标即为所求；如果不相等，那么满足条件的D点不存在．

解答：解：（1）设直线AB的解析式为：y=kx+b，
∵B（-1，0），A（0，1），
∴

-k+b=0 b=1

，
解得：

k=1 b=1

，
∴直线AB的解析式为：y=x+1，
∵点D是射线FC上的一个动点，
∴点D横坐标的取值范围为：x＞0；

（2）∵直线y=-

3

4

x+3交x轴于点C，
∴0=-

3

4

x+3，
解得：x=4，
∴点C（4，0），
当△CBD为直角三角形时，只能∠BDC=90°，设D（x，-

3

4

x+3）．
∵∠BDC=90°，
∴BD²+CD²=BC²，
即（x+1）²+（-

3

4

x+3）²+（x-4）²+（-

3

4

x+3）²=5²，
整理得5x²-24x+16=0，
解得x₁=

4

5

，x₂=4（不合题意舍去），
∴D（

4

5

，

12

5

）．
∵BD²=（

4

5

+1）²+（

12

5

）²=9，
∴BD=3；

（3）由（2）可知，满足△CBD为直角三角形的D点只有一个，此时D（

4

5

，

12

5

），BD=3，
∵CD=

( 4 5 -4)2+( 12 5 )2

=4，
∴BD≠CD，
∴满足△CBD为等腰直角三角形的D点不存在．

点评：本题是一次函数的综合题，其中涉及到运用待定系数法求直线的解析式，一次函数图象上点的坐标特征，勾股定理与等腰直角三角形的性质，难度适中．