Question

已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）图象如图所示，且与x轴交于A（-1，0）、B（x₁，0）两点，2＜x₁＜3，给出下列结论：则正确的有

 

（填序号）
①abc＞0；②a-b+c=0；③a+c＜0；④2a+b＜0；⑤b²+4a＞4ac．

Answer 1

考点：二次函数图象与系数的关系

专题：数形结合

分析：由抛物线开口方向得a＜0，由抛物线的对称性得到0＜-

b

2a

＜1，则b＞0，由抛物线与y轴的交点在x轴下方得到c＞0，所以abc＜0，于是可对①进行判断；
由于x=-1时，y=0，即a-b+c=0，则可②进行判断；由于b=a+c，加上x=1时，y＞0，即a+b+c＞0，所以a+a+c+c＞0，于是可对③进行判断；根据对称轴的位置得到0＜-

b

2a

＜1，利用a＜0变形得到-b＞2a，则可对④进行判断；由于抛物线的顶点的纵坐标大于1，即

4ac-b2

4a

＞1，利用a＜0可变形得到4ac-b²＜4a，则可对⑤进行判断．

解答：解：∵抛物线开口向下，
∴a＜0，
∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（x₁，0）两点，2＜x₁＜3，
∴抛物线的对称轴在y轴与直线x=1之间，即0＜-

b

2a

＜1，
∴b＞0，
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＞0，
∴abc＜0，所以①错误；
∵x=-1时，y=0，
∴a-b+c=0，所以②正确；
∴b=a+c，
∵x=1时，y＞0，
∴a+b+c＞0，
∴a+a+c+c＞0，即a+c＞0，所以③错误；
∵0＜-

b

2a

＜1，a＜0，
∴-b＞2a，即2a+b＜0，所以④正确；
∵抛物线的顶点的纵坐标大于1，
∴

4ac-b2

4a

＞1，
而a＜0，
∴4ac-b²＜4a
∴b²+4a＞4ac，所以⑤正确．
故答案为②④⑤．

点评：本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数y=ax²+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口，当a＜0时，抛物线向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）；常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）；△=b²-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b²-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b²-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．