Question

2．已知二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象经过（-1，0），（3，0）两点，并与y轴交于点C（0，3）．
（1）求出此二次函数的解析式；
（2）直接写出此二次函数图象关于y轴对称的图象的解析式；
（3）直接写出方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=a{x}^{2}+bx+c}\\{y=x+3}\end{array}\right.$的解；
（4）设抛物线的顶点为D，在y轴右侧的抛物线上是否存在点P，使△PCD 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．将点（0，3）代入抛物线的解析式求得a的值即可；\
（2）依据关于y轴对称的点横坐标互为相反数，纵坐标相等可得到抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式；
（3）将y=x+3代入抛物线的解析式，求得方程组的解即可；
（4）本题须分以CD为底边和以CD为一腰两种情况分类讨论，即可得出△PDC是等腰三角形符合条件的点P的坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+1）（x-3）．
将点（0，3）代入抛物线的解析式得：-3a=3，解得a=-1．
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3．
（2）∵关于y轴对称点的横坐标互为相反数，纵坐标不变，
∴抛物线y=-x²+2x+3关于y轴对称的抛物线的解析式为y=-x²-2x+3．
（3）将y=x+3代入y=-x²+2x+3得：-x²+2x+3=x+3，整理得：x²-x=0，解得：x=0或x=1．
当x=0时，y=3，；当x=1时，y=4，
所以方程组的解为$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$．
（4）存在．
理由：由抛物线的解析式y=-x²+2x+3得D点坐标为（1，4），对称轴为x=1．
①若以CD为底边，则PD=PC，设P点坐标为（x，y）根据勾股定理得x²+（3-y）²=（x-1）²+（4-y）² 即y=4-x 又P点（x，y）在抛物线上，
∴4-x=-x²+2x+3，即 x²-3x+1=0 解得 x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，x=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$ （舍去）
∴x=$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$
∴y=4-x=$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$，
即点P坐标为 （$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）．
②若以CD为一腰，因为点P在对称轴右侧的抛物线上，
由抛物线对称性知，点P与点C关于直线x=1对称，此时点P坐标为（2，3）
∴符合条件的点P坐标为（$\frac{3+\sqrt{5}}{2}$，$\frac{5-\sqrt{5}}{2}$）或（2，3）．

点评 本题主要考查的是二次函数的综合应用，解答本题主要应用了待定系数法求二次函数的解析式，关于y轴对称点的坐标特点，等腰三角形的定义，分类讨论是解题的关键．