Question

13．已知在△ABC中，AB=BC=8cm，∠ABC=90°，点E以每秒1cm/s的速度由A向点B运动，ED⊥AC于点D，点M为EC的中点．
（1）求证：△BMD为等腰直角三角形；
（2）当点E运动多少秒时，△BMD的面积为12.5cm²？

Answer 1

分析 （1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得BM=$\frac{1}{2}$CE，DM=$\frac{1}{2}$CE，得出BM=DM，再由等腰三角形的性质和三角形的外角性质证出∠BMD=90°即可；
（2）由等腰直角三角形的面积求出BM，得出CE，由勾股定理求出BE，得出AE，即可得出结果．

解答 （1）证明：∵∠ABC=90°，DE⊥AC，点M为EC的中点，AB=BC，
∴BM=$\frac{1}{2}$CE=CM，DM=$\frac{1}{2}$CE=CM，∠BAC=∠ACB=45°，
∴BM=DM，∠MBC=∠MCB，∠MDC=∠MCD，
∵∠BME=∠MBC+∠MCB，∠DME=∠MDC+∠MCD，∠MCB+∠MCD=∠ACB=45°，
∴∠BMD=∠BME+∠DME=45°+45°=90°，
∴△BMD为等腰直角三角形；
（2）解：由（1）得：△BMD为等腰直角三角形，
∴△BMD的面积=$\frac{1}{2}$BM•DM=$\frac{1}{2}$BM²=12.5，
解得：BM=5，
∴CE=2BM=10cm，
由勾股定理得：BE=$\sqrt{C{E}^{2}-B{C}^{2}}$=6（cm），
∴AE=AB-BE=2cm，
∴2÷1=2（s），
即当点E运动2秒时，△BMD的面积为12.5cm²．

点评 本题考查了等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、直角三角形斜边上的中线性质、三角形的外角性质、三角形面积的计算；证明三角形是等腰直角三角形是解决问题的关键．