Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx经过点A（2，0）、B（3，3），顶点为C，直线BC与y轴交于点D，点P是x轴负半轴上的一个动点，设点P的坐标为（m，0），过点P作x轴的垂线l交抛物线于点Q，
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）试探究m为何值时，四边形ODPQ是平行四边形；
（3）否存在点Q，使得以P、Q、A为顶点三角形与△BOC相似？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）应用待定系数法即可求得．
（2）先求出直线BC的解析式，然后根据PQ∥OD且相等即可求得．
（3）先证得三角形BOC是以O为顶点的直角三角形，然后根据三角形相似对应边成比例即可求得．

解答：解：（1）∵抛物线y=ax²+bx经过点A（2，0）、B（3，3），
∴

4a+2b=0 9a+3b=3

 解得：

a=1 b=-2

，
∴抛物线的解析式为：y=x²-2x；

（2）∵抛物线的解析式为：y=x²-2x；
∴y=x²-2x=（x-1）²-1，
∴顶点C（1，-1），
设直线BC为y=kx+m，
则

3k+m=3 k+m=-1

 解得

k=2 m=-3

，
∴直线BC为y=2x-3，
∵当x=0时，y=-3，
∴OD=3，
∵PQ∥OD，
∴当PQ=OD时，四边形ODPQ是平行四边形，
∴m²-2m=3，解得m=3（舍去）m=-1，
∴当m=-1时，四边形ODPQ是平行四边形．

（3）存在；
解：∵P（m，0），
∴Q（m，m²-2m），
∴PQ=m²-2m，PA=2-m，
∵A（2，0）、B（3，3）、C（1，-1），
∴OB=3

2

，OC=

2

，
∴OB²+OC²=20，
∵BC²=（3-1）²+（3+1）²=20，
∴△BOC是直角三角形，∠BOC=90°，
∵以P、Q、A为顶点三角形与△BOC相似，
∴

PQ

OC

=

PA

OB

或

PQ

OB

=

PA

OC

，
当

PQ

OC

=

PA

OB

时，则

m2-2m

2

=

2-m

3 2

，
解得m=-

1

3

，m=2（舍去），
当

PQ

OB

=

PA

OC

时，则

m2-2m

3 2

=

2-m

2

，
解得m=-3，m=2（舍去），
∴使得以P、Q、A为顶点三角形与△BOC相似的Q点的坐标Q（-

1

3

，

7

9

）或Q（-3，15）．

点评：本题考查了待定系数法求解析式的方法，抛物线顶点的求法，平行四边形的判定，直角三角形的判定以及三角形相似的性质等．