Question

19．已知关于x的一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0有两个实数根x₁和x₂．
（1）求实数m的取值范围；
（2）若x₁+x₂=6-x₁x₂，求（x₁-x₂）²+3x₁x₂-5的值．

Answer 1

分析 （1）由一元二次方程x²+（2m-3）x+m²=0的两个实数根，根据根的判别式的意义得到△=b²-4ac≥0，即4m²-12m+9-4m²≥0，解关于m的不等式即可；
（2）根据根与系数的关系x₁+x₂=-（2m-3），x₁x₂=m²，代入代数式求出m的值即可．

解答 解：（1）△=（2m-3）²-4m²
=4m²-12m+9-4m²
=-12m+9，
∵△≥0
∴-12m+9≥0，
∴m≤$\frac{3}{4}$；

（2）由题意可得
x₁+x₂=-（2m-3）=3-2m，
x₁x₂=m²，
又∵x₁+x₂=6-x₁x₂，
∴3-2m=6-m²，
∴m²-2m-3=0，
∴m₁=3，m₂=-1，
又∵m≤$\frac{3}{4}$
∴m=-1，
∴x₁+x₂=5，
x₁x₂=1，
∴（x₁-x₂）²+3x₁x₂-5
=（x₁+x₂）²-4x₁x₂+3x₁x₂-5
=（x₁+x₂）²-x₁x₂-5
=5²-1-5
=19．

点评 此题主要考查了一元二次方程根与系数的关系以及根的判别式，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．