Question

4．如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE=DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若$\frac{AF}{DF}$=2，则$\frac{HF}{BG}$的值为（　　）

• A． $\frac{2}{3}$
• B． $\frac{7}{12}$
• C． $\frac{1}{2}$
• D． $\frac{5}{12}$

Answer 1

分析 设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，由△HFD∽△BFA，得$\frac{HD}{AB}$=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{HF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，求出FH，再由HD∥EB，得△DGH∽△EGB，得$\frac{HG}{GB}$=$\frac{HD}{EB}$=$\frac{1.5a}{2a}$=$\frac{3}{4}$，求出BG即可解决问题．

解答 解：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC=CD=AD，
∵AF=2DF，设DF=a，则DF=AE=a，AF=EB=2a，
∵HD∥AB，
∴△HFD∽△BFA，
∴$\frac{HD}{AB}$=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{HF}{FB}$=$\frac{1}{2}$，
∴HD=1.5a，$\frac{FH}{BH}$=$\frac{1}{3}$，
∴FH=$\frac{1}{3}$BH，
∵HD∥EB，
∴△DGH∽△EGB，
∴$\frac{HG}{GB}$=$\frac{HD}{EB}$=$\frac{1.5a}{2a}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{BG}{HB}$=$\frac{4}{7}$，
∴BG=$\frac{4}{7}$HB，
∴$\frac{HF}{BG}$=$\frac{\frac{1}{3}BH}{\frac{4}{7}BH}$=$\frac{7}{12}$．
故选B．

点评 本题考查相似三角形的性质和判定、菱形的性质、比例的选择等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会设参数，属于中考常考题型．