Question

14．为了求1+2+2²+2，³+…2¹⁰⁰的值，可令S=1+2+2²+2³…+2¹⁰⁰，则2S=2+2²+2³+…+2¹⁰¹，因此2S-S=2¹⁰¹-1，所以S=2¹⁰¹-1，即1+2+2²+2³+…+2¹⁰⁰=2¹⁰¹-1，仿照以上推理计算1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁶的值是$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

Answer 1

分析 分析：设S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁶，根据等式的性质，此等式的两边同时乘以3，得3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁷，两等式相减得3S-S=3²⁰¹⁷-1，解关于S的方程可求解．

解答 解：令S=1+3+3²+3³+…+3²⁰¹⁶，则
3S=3+3²+3³+3⁴+…+3²⁰¹⁷，
因此3S-S=3²⁰¹⁷-1，
所以S=$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$，
故填：$\frac{{3}^{2017}-1}{2}$．

点评 本题应用了数学上的换元法，设所求的代数式为S，应用等式的性质将其恒等变形，利用方程的思想求解．