Question

10．如图，在△ABC中，∠B=45°，∠C=75°，AC=2$\sqrt{6}$，AC的中点为D，若长度为3的线段PQ（P在Q的左侧）在直线BC上滑动，则AP+DQ的最小值为$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{2}$．．

Answer 1

分析 先求出BC=6，AB=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．以BC所在直线为x轴，y轴经过点A，建立坐标系，则A（0，3+$\sqrt{3}$），设P（a，0），则Q（a+3，0），D（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$），求出AP+DQ，利用几何意义，结合对称性，即可得出结论．

解答 解：由题意，∠A=60°．
由正弦定理可得$\frac{2\sqrt{6}}{\frac{\sqrt{2}}{2}}=\frac{BC}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{AB}{\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}$，
∴BC=6，AB=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{6}$．
以BC所在直线为x轴，y轴经过点A，建立坐标系，则A（0，3+$\sqrt{3}$），
设P（a，0），则Q（a+3，0），D（$\frac{3-\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）
∴AP+DQ=$\sqrt{（a-0）^{2}+[0-（3+\sqrt{3}）^{2}}$+$\sqrt{（a-\frac{3+\sqrt{3}}{2}）^{2}+（0-\frac{3+\sqrt{3}}{2}）^{2}}$，
表示x轴上的点（a，0）与A（0，3+$\sqrt{3}$），（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）的距离和，
利用对称性，（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$）关于x轴的对称点的坐标为E（$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$，-$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$），
可得AP+DQ的最小值为AE=$\sqrt{（0-\frac{3+\sqrt{3}}{2}）^{2}+（3+\sqrt{3}+\frac{3+\sqrt{3}}{2}）^{2}}$=$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{2}$．
故答案为：$\frac{3\sqrt{10}+\sqrt{30}}{2}$．

点评 本题考查解三角形的运用，考查距离公式的运用，考查学生分析解决问题的能力，难度大．