Question

2．已知，直线AB分别交x、y轴于A（4，0）、B两点，C（-4，a）为直线y=-x与AB的公共点．
（1）求点B的坐标；
（2）已知动点M在直线y=x+6上，是否存在点M使得S_△OMB=S_△OMA？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
（3）已知点E（0，8），P是x轴正半轴上的动点，Q是y轴正半轴上的动点，Q在点E上方，OP=EQ，QH是∠OQP的角平分线交直线CO于H．求OE，PQ，OH之间的数量关系．

Answer 1

分析 （1）由点C在直线y=-x上可得出a的值，从而得出C点的坐标，设直线AB的解析式为y=kx+b，代入A、C点的坐标，由待定系数法即可求出直线AB的解析式，令x=0即可求出点B的坐标；
（2）假设存在，设点M的坐标为（m，m+6）．由O、A、B、M点的坐标结合三角形的面积公式即可找出关于m的一元一次方程，解方程即可求出m的值，代入M点的坐标中即可得出结论；
（3）设点H（t，-t），P（a，0），QH与x轴的交点为M，理由勾股定理即可得出PQ²=2a（a+8）+64，由QH是∠OQP的角平分线，利用角平分线的性质即可得出$\frac{OM}{a+8}$=$\frac{a-OM}{PQ}$=$\frac{a}{a+8+PQ}$，结合$\frac{OM}{t}$=$\frac{OQ}{OQ+t}$，即可得出a（a+8）=t（PQ+8），即$\frac{P{Q}^{2}-64}{2}$=$\frac{OH（8+PQ）}{\sqrt{2}}$，整理后即是PQ=$\sqrt{2}$OH+8=$\sqrt{2}$OH+OE．

解答 解：（1）∵点C（-4，a）为直线y=-x上一点，
∴a=-1×（-4）=4，
∴点C（-4，4）．
设直线AB的解析式为y=kx+b，
将A、C坐标分别代入直线AB的解析式得：$\left\{\begin{array}{l}{0=4k+b}\\{4=-4k+b}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{1}{2}}\\{b=2}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
令x=0时，y=2，
∴点B的坐标为（0，2）．
（2）假设存在，设点M的坐标为（m，m+6）．
∵点A（4，0）、点B（0，2）、点M（m，m+6），
∴OA=4，OB=2，|M_x|=|m|，|M_y|=|m+6|，
∴S_△OMA=$\frac{1}{2}$OA•|M_y|=2|m+6|；
S_△OMB=$\frac{1}{2}$OB•|M_x|=|m|．
∵S_△OMB=S_△OMA，
∴2|m+6|=|m|，
∴2（m+6）=m或2（m+6）=-m，
解得：m₁=-12，m₂=-4．
∵-12+6=-6，-4+6=2，
∴M点的坐标为（-12，-6）或（-4，2）．
故动点M在直线y=x+6上，存在点M使得S_△OMB=S_△OMA，点M的坐标为（-12，-6）或（-4，2）．
（3）设点H（t，-t），P（a，0），QH与x轴的交点为M，如图所示，
∴OH=$\sqrt{2}$t，PQ²=（a+8）²+a²=2a（a+8）+64．
∵QH是∠OQP的角平分线，
∴$\frac{OM}{MP}$=$\frac{OQ}{PQ}$，即$\frac{OM}{a-OM}$=$\frac{a+8}{PQ}$，
∴$\frac{OM}{a+8}$=$\frac{a-OM}{PQ}$=$\frac{a}{a+8+PQ}$．
∵$\frac{OM}{t}$=$\frac{OQ}{OQ+t}$，即$\frac{OM}{a+8}$=$\frac{t}{a+8+t}$，
∴$\frac{a}{a+8+PQ}$=$\frac{t}{a+8+t}$，$\frac{a}{8+PQ}$=$\frac{t}{a+8}$，
∴a（a+8）=t（PQ+8），即$\frac{P{Q}^{2}-64}{2}$=$\frac{OH（8+PQ）}{\sqrt{2}}$，
∴PQ-8=$\sqrt{2}$OH，
∴PQ=$\sqrt{2}$OH+8=$\sqrt{2}$OH+OE．

点评 本题考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积公式、角平分线的性质以及勾股定理，解题的关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据三角形的面积相等得出关于m的一元一次方程；（3）通过角平分线的性质以及勾股定理得出等式，整理变形即可得出结论．本题属于中档题，（1）（2）没有难度；（3）难度不大，但用到知识点较多，而且分式的变形较繁琐，属于易丢分部分．