Question

7．如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=-x-3分别与x轴、y轴相交于A、B两点，二次函数y=x²+mx+n（m≠6）的图象经过点A．
（1）试证明二次函数y=x²+mx+n（m≠6）的图象与x轴有两个交点；
（2）若二次函数y=x²+mx+n图象的顶点D在直线AB上，求m，n的值；
（3）设二次函数y=x²+mx+n的图象与x轴的另一个交点为点C，顶点D关于x轴的对称点设为点E，以AE，AC为邻边作平行四边形EACF，顶点F能否在该二次函数的图象上？如果在，求出这个二次函数的表达式；如果不在，请说明理由？

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得n与m的关系，根据根的判别式，可得答案；
（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据直线上点的坐标满足函数解析式，可得关于m的方程，根据n=3m-9，可得答案；
（3）根据因式分解法，可得C点坐标，根据关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得E点坐标，根据平形四边顶点的坐标关系，可得F点坐标，根据F点的坐标是否满足函数解析式，可得答案．

解答 解：（1）当x=0时，y=-3，即B（0，-3），
当y=0时，-x-3=0，解得x=-3，即A点坐标（-3，0）．
A（-3，0），B（0，-3），
二次函数y=x²+mx+n的图象经过点A（-3，0），则n=3m-9．
即y=x²+mx+（3m-9）．
∵b²-4ac=m²-4（3m-9）=m²-12m+36=（m-6）²，
又m≠6，
∴b²-4ac＞0，
则二次函数y=x²+mx+（3m-9）的图象与x轴有两个交点；
（2）二次函数y=x²+mx+n，即y=x²+mx+（3m-9）．
顶点坐标为（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9），
因为二次函数y=x²+mx+n图象的顶点在直线AB上，
所以-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9=$\frac{m}{2}$-3，解得：m₁=4，m₂≠6，
则n₁=3；        
（3）F点不在抛物线上，理由如下：
抛物线y=x²+mx+（3m-9），
当y=0时，x²+mx+（3m-9）=0，解得x=-3，x=3-m，即C（3-m，0），A（-3，0）．
顶点坐标为（-$\frac{m}{2}$，-$\frac{{m}^{2}}{4}$+3m-9），E点关于x轴的对称点是（-$\frac{m}{2}$，$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9）．
由EACF是平行四边形，得
x_F+x_A=x_E+x_C，y_F+y_A=y_E+y_C，
即x_F=-$\frac{m}{2}$+3-m-（-3）=-$\frac{3}{2}$m+6，y_F=$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9+0-0=$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9．
即F点坐标为（-$\frac{3}{2}$m+6，$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9）．
将F点的坐标代入，得
（-$\frac{3}{2}$m+6）²+m（-$\frac{3}{2}$m+6）+（3m-9）=-$\frac{3}{4}$m²+3m+27≠$\frac{{m}^{2}}{4}$-3m+9，
F点不在抛物线上．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式；利用顶点坐标在直线上得出方程是解题关键；利用平行四边形对角顶点的关系得出F点的坐标是解题关键．