Question

6．2016年底郑州市雾霾天气趋于严重，某商场根据民众健康需要，从厂家购进了A、B两种型号的空气净化器，如果销售10台A型和20台B型空气净化器的利润为4000元，销售20台A型和10台B型空气净化器的利润为3500元．
（1）求每台A型空气净化器和B型空气净化器的销售利润；
（2）该公司计划一次购进两种型号的空气净化器共100台，其中B型空气净化器的进货量不超过A型空气净化器的2倍，设购进A型空气净化器x台，这100台空气净化器的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该公司购进A型、B型空气净化器各多少台，才能使销售总利润最大？
（3）已知A型空气净化器净化能力为340m³/h，B型空气净化器净化能力为240m³/h．某公司室内办公场地总面积为600m²，室内墙高3.5m．受二胎政策影响，近期孕妇数量激增，为保证胎儿健康成长，该公司计划购买15台空气净化器净化空气，每天花费30分钟将室内空气净化一新，若不考虑空气对流等因素，该公司至少要购买6台A型空气净化器．（请直接写出答案）

Answer 1

分析 （1）设每台A型空气净化器的销售利润为a元，每台B型空气净化器的销售利润为b元，根据给定条件“销售10台A型和20台B型空气净化器的利润为4000元，销售20台A型和10台B型空气净化器的利润为3500元”可列出关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；
（2）①根据购进A型空气净化器的台数，找出购进B型空气净化器的台数，根据A、B间的关系可得出关于x的一元一次不等式，解不等式即可得出x的取值范围，再由销售利润=A型的利润+B型的利润，即可得出y关于x的函数关系式；②结合一次函数的性质以及x的取值范围即可解决最值问题；
（3）该公司要购买A型空气净化器m台，利用净化的体积不少于办公室的体积列不等式$\frac{30}{60}$[340m+240（15-m）]≥600×3.5，然后解方程得到m的范围，在此范围内确定m的最小值即可．

解答 解：（1）设每台A型空气净化器的销售利润为a元，每台B型空气净化器的销售利润为b元，
依题意得：$\left\{\begin{array}{l}{10a+20b=4000}\\{20a+10b=3500}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=100}\\{b=150}\end{array}\right.$．
答：每台A型空气净化器的销售利润为100元，每台B型空气净化器的销售利润为150元．

（2）①设购进A型空气净化器x台，则购进B型空气净化器（100-x）台，
由已知得：100-x≤2x，
解得：x≥$\frac{100}{3}$，
∴x≥34．
∴y=100x+150（100-x）=-50x+15000（x≥34，且x为正整数）．
②∵y=-50x+15000中，k=-50＜0，
∴y随x的增大而减小，
∴当x=34时，y取最大值，此时100-x=66．
故购进34台A型空气净化器和66台B型空气净化器的销售利润最大．
（3）该公司要购买A型空气净化器m台，
根据题意得$\frac{30}{60}$[340m+240（15-m）]≥600×3.5
解得m≥6，
故该公司至少要购买A型空气净化器6台．
故答案为：6．

点评 本题考查了一次函数的性质以及二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）根据数量关系列出关于a、b的二元一次方程组；（2）根据数量关系列出y关于x的函数关系式；（3）属于一元一次不等式的应用．本题属于中档题，难度不大，解决该题型题目时，根据数量关系列出方程（方程组或函数关系式）是关键．