Question

1．如图1，四边形ABCD是正方形，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿边AB、BC、CD匀速运动到D终止；动点Q从A出发，以1cm/s的速度沿边AD匀速运动到D终止，若P、Q两点同时出发，运动时间为ts，△APQ的面积为Scm²．S与t之间函数关系的图象如图2所示．
（1）求图2中线段FG所表示的函数关系式；
（2）当动点P在边AB运动的过程中，若以C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形，求t的值；
（3）是否存在这样的t，使PQ将正方形ABCD的面积恰好分成1：3的两部分？若存在，求出这样的t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）函数图象中线段FG，表示点Q运动至终点D之后停止运动，而点P在线段CD上继续运动的情形．求出S的表达式，并确定t的取值范围；
（2）分CP=CQ、PC=PQ、QC=QP三种情况讨论即可确定答案；
（3）当点P在AB上运动时，PQ将菱形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，求出t的值；
当点P在BC上运动时，PQ将菱形分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，求出t的值．

解答 解：（1）由题意，可知题图2中点E表示点P运动至点B时的情形，
所用时间为2s，则正方形的边长AB=2×2=4cm．
点Q运动至点D所需时间为：4÷1=4s，点P运动至终点D所需时间为12÷2=6s．
因此在FG段内，点Q运动至点D停止运动，点P在线段CD上继续运动，且时间t的取值范围为4≤t≤6．
故S=$\frac{1}{2}$×4×（12-2t）=-4t+24，
∴FG段的函数表达式为S=-4t+24（4≤t≤6）．
（2）①若CP=CQ，则DQ=PB，显然不成立
    ②若PC=PQ，则（4-2t）²+4²=5t²，解得${t_1}=-8+4\sqrt{6}$，${t_2}=-8-4\sqrt{6}$（舍去）
③若QC=QP，则（4-t）²+4²=5t²，解得t₁=2，t₂=-4（舍去）
综上所述，当$t=-8+4\sqrt{6}$或t=2时，以C、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形．
（3）假设存在这样的t，使PQ将正方形ABCD的面积恰好分成1：3的两部分．
易得正方形ABCD的面积为16．
①当点P在AB上运动时，PQ将正方形ABCD分成△APQ和五边形PBCDQ两部分，
如图1所示，根据题意，得$\frac{1}{2}×2t×t=16×\frac{1}{4}$，解得t=2；                   

②当点P在BC上运动时，PQ将正方形ABCD分为梯形ABPQ和梯形PCDQ两部分，如图所示．根据题意，得$\frac{1}{2}$（2t-4+t）×4=$\frac{3}{4}$×16，
解得t=$\frac{10}{3}$．
∴存在t=2和t=$\frac{10}{3}$，使PQ将正方形ABCD的面积恰好分成1：3的两部分．

点评 本题是运动型综合题，考查了动点问题的函数图象、菱形的性质、解直角三角形、图形面积等知识点．解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．