Question

13．反比例函数是中考常考内容，小明遇到两道关于反比例函数知识的难题，请你帮他解答．
（1）如图1，已知反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{2x}$的图象与一次函数y=k₂x+b的图象交于A，B两点，A（1，n），B（-，-2）．
①求反比例函数和一次函数的解析式；
②在x轴上是否存在点P，使△AOP为等腰三角形？若存在，请你直接写出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）如图2，正比例函数y=$\frac{1}{2}$x的图象与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）在第一象限的图象交于A点，过A点作x轴的垂线，垂足为M，已知△OAM的面积为1．
①求反比例函数的解析式；
②如果B为反比例函数在第一象限图象上的点（点B与点A不重合），且B点的横坐标为1，在x轴上求一点P，使PA+PB最小．

Answer 1

分析 （1）①先把点B的坐标代入反比例函数解析式，求出k₁的值即可得出其解析式，再求出点A的坐标，再把A、B两点坐标代入一次函数即可得出其解析式；
②分OA=OP，OA=AP及OP=AP三种情况进行分类讨论即可；
（2）①设A点的坐标为（a，b），则b=$\frac{k}{a}$，再由△OAM的面积为1可得出k的值，进而可得出其解析式；
②根据题意画出图形，利用待定系数法求出直线BC的解析式，再令y=0求出x的值即可得出P点坐标．

解答 解：（1）①∵点B（-$\frac{1}{2}$，-2）在反比例函数y=$\frac{{k}_{1}}{2x}$的图象上，
∴-2=$\frac{{k}_{1}}{2×（-\frac{1}{2}）}$，
∴k₁=2．
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{1}{x}$，
又∵A（1，n）在反比例函数图象上，
∴n=$\frac{1}{1}$，
∴n=1；
∴A点坐标为（1，1）；
∴一次函数y=k₂x+b的图象经过点A（1，1），B（-，-2）；
∴$\left\{\begin{array}{l}{k}_{2}+b=1\\-\frac{1}{2}+b=-2\end{array}\right.$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{k}_{2}=2\\ b=-1\end{array}\right.$，
∴一次函数的解析式为y=2x-1；
②存在符合条件的点P．
若OA=OP，则P（$\sqrt{2}$，0）或（-$\sqrt{2}$，0），
若AP=OA，则P（2，0），
若OP=AP，则（1，0），
故点P的坐标为（$\sqrt{2}$，0），（-$\sqrt{2}$，0），（2，0），（1，0）；

（2）①设A点的坐标为（a，b），则b=$\frac{k}{a}$，
∴ab=k．
∵$\frac{1}{2}$ab=1，
∴$\frac{1}{2}$k=1，
∴k=2，
∴反比例函数的解析式为y=$\frac{2}{x}$．
②根据题意画出图形，如图所示：
联立得$\left\{\begin{array}{l}y=\frac{2}{x}\\ y=\frac{1}{2}x\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=1\end{array}\right.$，
∴A为（2，1）．
设A点关于x轴的对称点为C，则C点的坐标为（2，-1）．
令直线BC的解析式为y=mx+n
∵B为（1，2），
将B和C的坐标代入得：$\left\{\begin{array}{l}2m+n=-1\\ m+n=2\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}m=-3\\ n=5\end{array}\right.$，
∴BC的解析式为y=-3x+5．
当y=0时，x=$\frac{5}{3}$，
∴P点为（$\frac{5}{3}$，0）．

点评 本题考查的是反比例函数综合题，涉及到反比例函数图象上点的坐标特点、待定系数法求一次函数的解析式及等腰三角形的性质等知识，难度适中．