Question

7．（1）操作发现：如图，小明在矩形纸片ABCD的边AD上取中点E，将△ABE沿BE折叠后得到△GBE，且点G在矩形ABCD内部，将BG延长交DC于点F，认为GF=DF，你同意吗？说明理由．
（2）问题解决：保持（1）中条件不变，若DC=2FC，求$\frac{AD}{AB}$的值．

Answer 1

分析 （1）连接EF，则AE=EG，HL可证明Rt△EGF≌Rt△EDF，根据全等三角形的性质即可求解；
（2）设FC=x，BC=y，则有GF=x，AD=y．根据DC=2FC得到DF=x，DC=AB=BG=2x，BF=BG+GF=3x，然后利用勾股定理得到y与x之间关系，从而求得两条线段的比．

解答 解：（1）同意．连接EF，则∠EGF=∠D=90°．
∵点E是AD的中点，
∴由折叠的性质知，EG=ED
在Rt△EGF和Rt△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{EG=ED}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴Rt△EGF≌Rt△EDF（HL）．
∴GF=DF；

（2）由（1）知，GF=DF．设FC=x，BC=y，则有GF=x，AD=y．
∵DC=2FC，
∴DF=x，DC=AB=BG=2x，
∴BF=BG+GF=3x．
在Rt△BCF中，由勾股定理得：BC²+CF²=BF²，即y²+x²=（3x）²．
∴y=2$\sqrt{2}$x
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{y}{2x}$=$\sqrt{2}$．

点评 此题考查了矩形的性质、图形的折叠变换、全等三角形的判定和性质、勾股定理的应用等重要知识，难度适中．