Question

9．如果一条抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴有两个交点，那么以该抛物线的顶点和这两个交点为顶点的三角形称为这条抛物线的“抛物线三角形”．
（1）请你判定“抛物线三角形”的形状（不必写出证明过程）；
（2）若抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，求b的值；
（3）如图，△OAB是抛物线y=-x²+b′x（b′＞0）的“抛物线三角形”．请问是否存在以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）抛物线的顶点必在抛物线与x轴两交点连线的垂直平分线上，因此这个“抛物线三角形”一定是等腰三角形．
（2）观察抛物线的解析式，它的开口向下且经过原点，由于b＞0，那么其顶点在第一象限，而这个“抛物线三角形”是等腰直角三角形，必须满足顶点坐标的横、纵坐标相等，以此作为等量关系来列方程解出b的值．
（3）由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，结合（1）的结论，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b′表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．

解答 解：（1）如图；
根据抛物线的对称性，抛物线的顶点A必在O、B的垂直平分线上，所以OA=AB，即：“抛物线三角形”必为等腰三角形．

（2）当抛物线y=-x²+bx（b＞0）的“抛物线三角形”是等腰直角三角形，
该抛物线的顶点（$\frac{b}{2}$，$\frac{{b}^{2}}{4}$），满足$\frac{b}{2}$=$\frac{{b}^{2}}{4}$（b＞0）．
则b=2．

（3）存在．
如图，作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．
当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足为E，
∴AE=OEtan∠AOB=$\sqrt{3}$OE．
∴$\frac{b{′}^{2}}{4}$=$\sqrt{3}$•$\frac{b′}{2}$（b＞0）．
∴b′=2$\sqrt{3}$．
∴A（$\sqrt{3}$，3），B（2$\sqrt{3}$，0）．
∴C（-$\sqrt{3}$，-3），D（-2$\sqrt{3}$，0）．
设过点O、C、D的抛物线为y=mx²+nx，则$\left\{\begin{array}{l}{12m-2\sqrt{3}n=0}\\{3m-\sqrt{3}n=3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{m=1}\\{n=2\sqrt{3}}\end{array}\right.$．
故所求抛物线的表达式为y=x²+2$\sqrt{3}$x．

点评 本题考查了二次函数综合题，这道二次函数综合题融入了新定义的形式，涉及到：二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，难度不大，重在考查基础知识的掌握情况．