Question

11．（1）已知AB、CD是圆O的两条相交弦，交点为P，证明：PC•PD=PA•PB；
（2）已知PAB、PCD是圆O的两条割线，PT是圆的切线，证明：PT²=PC•PD=PA•PB．

Answer 1

分析 （1）连接AC、DB，根据同弧所对的圆周角相等，证出△ACP∽△DBP，然后根据相似三角形的性质得出结论；
（2）连接AT，BT，根据弦切角定理证得∠B=∠ATP，推出△BPT∽△TPA，然后根据相似三角形的性质得出结论．

解答 证明：（1）如图1，连接AC、BD．
∵∠A=∠D，∠C=∠B，
∴△ACP∽△DBP，
∴$\frac{PA}{PD}$=$\frac{PC}{PB}$，
∴PA•PB=PC•PD；

（2）如图2，连接AT，BT，
∵PT是圆的切线，
∴∠B=∠ATP，
∵∠APT=∠BPT，
∴△BPT∽△TPA，
∴$\frac{PB}{PT}=\frac{PT}{PA}$，
∴PT²=PA•PB，
同理PT²=PC•PD，
∴PT²=PC•PD=PA•PB．

点评 本题主要考查了圆周角的性质定理，弦切角定理，相似三角形的判定和性质，通过相似三角形的性质来证明相交弦定理，和切割线定理，关键是根据圆周角定理弦切角定理求出相等的角．